Corps de hardy. Fonctions (h)

il existe un intervalle $(x_1, +\infty[$ dans lequel $y$ ne change pas de signe.

En effet, posons $z(x) = y(x) \exp \left( -\int_{x_0}^x a(t)\,dt \right)$ (cf. IV, p. 22); on a, d’après (1), $z'(x) = b(x) \exp \left( -\int_{x_0}^x a(t)\,dt \right)$. Si $b(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant x_0$, $z$ est croissante dans cet intervalle, donc, ou bien est $< 0$ dans tout l’intervalle, ou bien est nulle dans un intervalle $(x_1, +\infty[$, ou bien est $> 0$ dans un intervalle $(x_1, +\infty[$; comme $y$ a le même signe que $z$, la proposition est démontrée dans ce cas. Raisonnement analogue si $b(x) \leqslant 0$ pour $x \geqslant x_0$.

La proposition est triviale si $p(u)$ a ses coefficients identiquement nuls dans $(x_0, +\infty[$, ou si $p(u)$ est de degré 0 par rapport à $u$, puisqu’une fonction de $\mathbf{A}$ garde un signe constant dans un intervalle $(x_1, +\infty[$. Supposons que $p(u)$ soit de degré $n > 0$; le coefficient dominant $c$ de $p(u)$ est alors $\neq 0$ dans un intervalle $(\alpha, +\infty[$; on peut donc écrire $p(u) = c(u^n + c_1u^{n-1} + \cdots + c_n)$ où $c, c_1, c_2, \ldots, c_n$ sont des fonctions appartenant à $\mathbf{A}$ et dérivables dans $(\alpha, +\infty[$; il suffit donc de démontrer le lemme pour $c = 1$. Raisonnons alors par récurrence sur $n$; on a

où $q(u)$ est un polynôme de degré $\leq n - 1$, à coefficients dans $\mathbf{A}$. Par hypothèse, les fonctions $na(x)$ et $q(y(x))$ ne changent pas de signe dans un intervalle $(\beta, +\infty[$; le lemme est donc une conséquence du lemme 1.

En effet, d’après le lemme 2, il existe un intervalle $(x_1, +\infty[$ dans lequel $r(y)$ est définie, continue et ne change pas de signe, d’où résulte aussitôt que $\mathbf{A}(y)/\mathbf{R}_\infty$ est bien un corps; d’autre part, comme

(où $r'(y) = (p'(y)q(y) - p(y)q'(y))/(q(y))^2$ est définie par hypothèse dans un voisinage de $+\infty$), la dérivée de toute fonction de $\mathbf{A}(y)$ appartient à $\mathbf{A}(y)$, ce qui prouve que $\mathbf{A}(y)$ satisfait aux conditions de la déf. 1 de V, p. 36.

Il est clair que $\mathbf{A}(y)/\mathbf{R}_\infty$ s’obtient par adjonction algébrique à $\mathbf{A}/\mathbf{R}_\infty$ de la classe de $y$ modulo $\mathbf{R}_\infty$. On dit encore que $\mathbf{A}(y)$ s’obtient par adjonction de $y$ à $\mathbf{A}$.

En effet, $(\log|y|)' = y'/y$ est égale à une fonction de $\mathbf{A}$ dans un intervalle $(x_0, +\infty[$.

En effet, $(e^y)' = e^y y'$, et $y'$ est égale à une fonction de $\mathbf{A}$ dans un intervalle $(x_0, +\infty[$.

En effet, $\frac{d}{dx}(|y|^{\alpha}) = |y|^{\alpha} (\alpha y'/|y|)$, et $\alpha y'/|y|$ est égale à une fonction de $\mathbf{R}$ dans un intervalle $[x_0, +\infty[$.

Notons enfin que si $y$ est une primitive d’une fonction quelconque de $\mathbf{R}$, $g(y)$ est encore un corps de Hardy.

En effet, si $f$ appartient à un corps de Hardy $\mathbf{R}$, pour tout entier $n > 0$, il existe un intervalle $[x_0, +\infty[$ dans lequel $f$ est $n$ fois dérivable, sa dérivée $n$-ème étant égale à une fonction de $\mathbf{R}$ dans cet intervalle. Il suffit donc de montrer que deux fonctions quelconques $f, g$ de $\mathbf{R}$ sont comparables. C’est évident si l’une d’elles est identiquement nulle dans un voisinage de $+\infty$; on peut donc se borner au cas où elles sont toutes deux strictement positives dans un voisinage de $+\infty$. Mais alors, pour tout nombre réel $t, f - tg$ est égale à une fonction de $\mathbf{R}$ dans un voisinage de $+\infty$, donc garde un signe constant dans un voisinage de $+\infty$, ce qui démontre la proposition (V, p. 8, prop. 9).

On déduit d’abord de cette proposition que, si un corps de Hardy $\mathbf{R}$ contient les constantes réelles (ce que nous supposerons toujours par la suite), et si $f$ et $g$ sont deux fonctions quelconques de $\mathbf{R}$, deux quelconques des fonctions $e^f$, $e^g$, $\log|f|$, $\log|g|$, $|f|^{\alpha}$, $|g|^{\alpha}$ ($\alpha$ réel quelconque), $\int_a f$, $\int_a g$ ($a$ réel quelconque dans un intervalle $[x_0, +\infty[$ où $f$ et $g$ sont réglées) sont comparables (lorsqu’elles sont définies); en effet, deux quelconques de ces fonctions appartiennent à un même corps de Hardy obtenu en les adjoignant successivement à $\mathbf{R}$.

De même, toute fonction $f(x)$ d’un corps de Hardy $\mathbf{R}$ est comparable à $x$, car $x$ et $f(x)$ appartiennent au corps de Hardy $\mathbf{R}(x)$ obtenu en adjoignant $x$ à $\mathbf{R}$. On en conclut donc (en particulier) que $f$ est comparable d’ordre quelconque à toute puissance $x^{\alpha}$, ainsi qu’à $\log x$ et à $e^x$.

On voit aussi que, si $f$ et $g$ appartiennent à un même corps de Hardy $\mathbf{R}$, si $g(x) > 0$ dans un intervalle $[x_0, +\infty[$, et si $g(x)$ tend vers 0 ou vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, l’ordre de $f$ par rapport à $g$ (V, p. 9) est toujours défini.

La prop. 8 de V, p. 23, est donc applicable à toute fonction $f$ d’un corps de Hardy, et prouve que:

1° si $f$ est d’ordre $+\infty$ par rapport à $x$, $\int_a^x f(t)\,dt \sim (f(x))^2/f'(x).$.

2° si $f$ est d’ordre $\mu > -1$ par rapport à $x$, $\int_a^x f(t)\,dt \sim \frac{1}{\mu + 1}\,x f(x)$.

3° si $f$ est d’ordre $\mu < -1$ par rapport à $x$, $\int_x^{+\infty} f(t)\,dt \sim -\frac{1}{\mu + 1}\,x f(x)$.

4° si $f$ est d’ordre $-\infty$ par rapport à $x$ $\int_x^{+\infty} f(t)\,dt \sim -(f(x))^2/f'(x)$.

On a en outre la proposition suivante:

1° Si $f$ est d’ordre infini par rapport à $x$, on a $\log |f| \gg \log x$, donc, puisque $\log|f|$ et $\log x$ sont comparables d’ordre quelconque, $f'/f \gg 1/x$. Posons $g = f'/f$; comme $g$ est égale à une fonction de $\mathfrak{A}$ dans un voisinage de $+\infty$, on déduit de $1/g \ll x$, que $g'/g^2 \ll 1$, et par suite $g'/g \ll g = f'/f$, ou encore $fg' \ll gf'$. De la relation $f' = fg$, on déduit en dérivant

ou encore $f''/f' \sim f'/f$. Le même raisonnement, appliqué à $f^{(n)}$ au lieu de $f$, montre, par récurrence sur $n$, que $f^{(n)}/f^{(n-1)} \sim f'/f$; d’où la relation (2).

2° Si $f$ est d’ordre fini $\mu$ par rapport à $x$ et si $\mu \neq 0$, on a $\log |f| \sim \mu \log x$, d’où, en dérivant, $f'(x) \sim \mu \frac{f(x)}{x}$; on en déduit que $f'$ est d’ordre $\mu - 1$ par rapport à $x$, ce qui permet d’appliquer le même raisonnement par récurrence sur $n$ tant que $\mu \neq n$, d’où la formule (3) lorsque $\mu$ n’est pas un entier $\geqslant 0$ et $< n$.

Lorsque $f$ est d’ordre entier $p \geqslant 0$ par rapport à $x$, on peut écrire $f(x) = x^p f_1(x)$, où $f_1$ est d’ordre 0 par rapport à $x$. D’après la prop. 2, on a

Pour évaluer les dérivées d’ordre $n > p$, on peut donc se borner au cas où $p = 0$. Alors, on a $\log |f| \ll \log x$, d’où $f'(x)/f(x) \ll 1/x$, autrement dit $x f'(x) \ll f(x)$; si $f$ n’est pas équivalente à une constante $k \neq 0$, on $a$, en dérivant cette relation (V, p. 22, prop. 7), $x f''(x) + f'(x) \ll f'(x)$, ce qui signifie que $x f''(x) \sim -f'(x)$. Tenant compte de cette formule, on voit par récurrence sur $n$ que $f^{(n)}$ est d’ordre $\leqslant -n$ par rapport à $x$, et que Si $f$ est équivalente à une constante $k \neq 0$, on a $f(x) = k + f_2(x)$ avec $f_2 \ll 1$, et on est ramené à étudier les dérivées de $f_2$.

Désignons par $\mathfrak{R}$ l’ensemble des fonctions $f \in \mathscr{H}(\mathfrak{R}, \mathbf{R})$ ayant les propriétés suivantes: pour chaque fonction $f \in \mathfrak{R}$ il existe un nombre fini de corps de Hardy $\mathfrak{R}_1, \mathfrak{R}_2, \ldots, \mathfrak{R}_n$ (le nombre $n$ et les corps $\mathfrak{R}_i$ dépendant de $f$) tels que $f \in \mathfrak{R}_n$ et que, pour $0 \leq i \leq n - 1$, on ait $\mathfrak{R}_{i+1} = \mathfrak{R}_i(u_{i+1})$, où $u_{i+1}$ est égale, soit à $e^{z_i}$, soit à $\log |z_i|$, $z_i$ appartenant à $\mathfrak{R}_i$ et n’étant pas identiquement nulle au voisinage de $+\infty$. On dit que $u_1, u_2, \ldots, u_n$ forment une suite de définition du corps $\mathfrak{R}_n$ et de la fonction $f$; une même fonction $f \in \mathfrak{R}$ peut naturellement admettre plusieurs suites de définition.

D’après la déf. 1 de V, p. 36, toute fonction $f \in \mathfrak{R}$, non identiquement nulle dans un voisinage de $+\infty$, garde un signe constant et est dérivable dans un intervalle $[x_0, +\infty[$; si $f \in \mathfrak{R}_n$, $1/f$ et $f'$ sont égales à des fonctions de $\mathfrak{R}_n$, donc à des fonctions de $\mathfrak{R}$, dans un voisinage de $+\infty$. Pour voir que $\mathfrak{R}$ est un corps de Hardy, il suffit donc de prouver que si $f$ et $g$ sont deux fonctions de $\mathfrak{R}$, $f - g$ et $fg$ sont égales à des fonctions de $\mathfrak{R}$ dans un voisinage de $+\infty$. Or soit $u_1, u_2, \ldots, u_m$ une suite de définition de $f$, $v_1, v_2, \ldots, v_n$ une suite de définition de $g$. La suite $u_1, u_2, \ldots, u_m, v_1, v_2, \ldots, v_n$ obtenue par juxtaposition des suites $(u_i)$ et $(v_j)$ est encore une suite de définition d’un corps de Hardy $\mathfrak{R}_{m+n}$, et ce corps contient $f$ et $g$, donc $f - g$ et $fg$ sont égales à des fonctions de $\mathfrak{R}_{m+n}$ dans un voisinage de $+\infty$.

On dira que le corps de Hardy $\mathfrak{R}$ défini dans la démonstration de la prop. 3 est l’extension (H) du corps de Hardy $\mathfrak{R}_0$.

Si $\mathfrak{R}'$ est un autre corps de Hardy possédant les propriétés énoncées dans la prop. 3, il résulte de la construction de $\mathfrak{R}$ que $\mathfrak{R}/\mathbf{R}_\infty$ est contenu dans $\mathfrak{R}'/\mathbf{R}_\infty$. Par abus de langage, on peut donc dire que l’extension (H) d’un corps de Hardy $\mathfrak{R}_0$ est le plus petit corps de Hardy $\mathfrak{R}$ ayant les propriétés énoncées dans la prop. 3.

1° Si $q \ll p/p'$, on a $p(x + q(x)) \sim p(x)$.

2° Si on a à la fois $q \ll p/p'$ et $q(x) \ll x$, on a $p(x - q(x)) \sim p(x)$.

Les deux parties de la proposition sont évidentes si $p \sim k$ (constante $\neq 0$); on peut donc supposer $p(x) \ll 1$ (sinon on raisonnait sur $1/p$). On en déduit $p'(x) \ll 1$.

1° On peut écrire $p(x + q(x)) = p(x) + q(x)p'(x + \theta q(x))$ avec $0 \leq \theta \leq 1$ (I, p. 22, corollaire). Comme $|p'(x)|$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$, et est égale à une fonction (H) dans un voisinage de $+\infty$, elle est décroissante dans un intervalle $(x_1, +\infty)$, donc, pour $x \geq x_1$, on a $|p'(x + \theta q(x))| \leq |p'(x)|$; comme $qp' \ll p$, on a bien $p(x + q(x)) \sim p(x)$.

2° La condition $q(x) \ll x$ assure que $x - q(x)$ tend vers $+\infty$ avec $x$. On a encore $p(x - q(x)) = p(x) - q(x)p'(x - \theta p(x))$ avec $0 \leq \theta \leq 1$. Le même raisonnement que dans la première partie de la démonstration montre que, pour $x$ assez grand, on a $|p'(x - \theta q(x))| \leq |p'(x - q(x))|$. Tout revient à montrer que $q(x) \frac{p'(x - q(x))}{p(x - q(x))}$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$. La proposition est vraie si $p'/p \gg 1$, car alors $|p'/p|$ est une fonction (H) croissante pour $x$ assez grand, donc $q(x) \frac{|p'(x - q(x))|}{|p(x - q(x))|} \leq q(x) \frac{|p'(x)|}{|p(x)|}$, et on a $qp' \ll p$ par hypothèse. Elle est vraie aussi si $p'/p \sim k$ ($k$ constante $\neq 0$), car alors

puisque $x - q(x)$ tend vers $+\infty$. Reste uniquement à examiner le cas où $p'/p \ll 1$. Supposons d’abord que $p(x)$ soit d’ordre fini par rapport à $x$, donc (V, p. 22, prop. 7) que $p'(x)/p(x) \ll 1/x$. On a alors $\frac{p'(x-q(x))}{p(x-q(x))} = \frac{1}{x-q(x)} O_1(1)$, donc $q(x) \frac{p'(x-q(x))}{p(x-q(x))} = \frac{q(x)}{x} \left( 1 - \frac{q(x)}{x} \right)^{-1} O_1(1) = \frac{q(x)}{x} O_2(1)$ et on voit que dans ce cas la proposition est vraie sous la seule hypothèse $q(x) \ll x$. Considérons enfin le cas où $1/x \ll p'(x)/p(x) \ll 1$; la fonction $r = p'/p$ est alors d’ordre fini par rapport à $x$; comme d’après la remarque précédente, la prop. 4 de V, p. 44, est applicable à une telle fonction, on a $p'(x-q(x))/p(x-q(x)) \sim p'(x)/p(x)$, et l’hypothèse $qp' \ll p$ permet alors d’achever la démonstration.