Các trường Hardy. Các hàm (H)

(1)

thì tồn tại một khoảng $[x_1, +\infty[$ mà trên đó $y$ không thay đổi dấu.

Thật vậy, đặt $z(x) = y(x) \exp \left( - \int_{x_0}^x a(t) \, dt \right)$ (x. IV, p. 183); khi đó, theo (1), $z'(x) = b(x) \exp \left( - \int_{x_0}^x a(t) \, dt \right)$. Nếu $b(x) \geqslant 0$ với $x \geqslant x_0$ thì $z$ tăng trên khoảng này, nên hoặc là $< 0$ trên toàn bộ khoảng ấy, hoặc bằng không trên một khoảng $[x_1, +\infty[$, hoặc nữa là $> 0$ trên một khoảng $[x_1, +\infty[$; vì $y$ có cùng dấu với $z$ nên mệnh đề được chứng minh trong trường hợp này. Lập luận là tương tự nếu $b(x) \leqslant 0$ với $x \geqslant x_0$.

Mệnh đề là tầm thường nếu $p(u)$ có các hệ số đồng nhất bằng không trên $[x_0, +\infty[$, hoặc nếu $p(u)$ có bậc 0 theo $u$, vì mọi hàm trong $\mathfrak{K}$ đều có dấu không đổi trên một khoảng $[x_1, +\infty[$. Giả sử $p(u)$ có bậc $n > 0$; khi đó hệ số đầu $c$ của $p(u)$ là $\neq 0$ trên một khoảng $[\alpha, +\infty[$; do đó có thể viết $p(u) = c(u^n + c_1 u^{n-1} + \cdots + c_n)$ trong đó $c, c_1, c_2, \ldots, c_n$ là những hàm thuộc $\mathfrak{K}$ và khả vi trên $[\alpha, +\infty[$; vậy nên chỉ cần chứng minh bổ đề trong trường hợp $c = 1$. Ta lập luận bằng quy nạp theo $n$; ta có

trong đó $q(u)$ là một đa thức bậc $\leq n - 1$, với các hệ số trong $\mathfrak{K}$. Theo giả thiết các hàm $na(x)$ và $q(y(x))$ không đổi dấu trên một khoảng $[ \beta, +\infty[$; do đó định lý được suy ra từ bổ đề 1.

Thật vậy, theo bổ đề 2, tồn tại một khoảng $[ x_1, +\infty[$ trên đó $r(y)$ được xác định, liên tục, và không đổi dấu; từ đó ngay lập tức suy ra rằng $\mathfrak{K}(y)/\mathbf{R}_\infty$ là một trường; hơn nữa, vì

(trong đó $r'(y) = (p'(y)q(y) - p(y)q'(y))/(q(y))^2$ được xác định theo giả thiết trên một lân cận của $+\infty$), đạo hàm của mọi hàm trong $\mathfrak{K}(y)$ đều thuộc $\mathfrak{K}(y)$, điều này chứng tỏ rằng $\mathfrak{K}(y)$ thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa 1 của V, p. 247.

Rõ ràng $\mathfrak{K}(y)/\mathbf{R}_\infty$ thu được bằng phép nối đại số vào $\mathfrak{K}/\mathbf{R}_\infty$ của lớp của $y$ theo môđun $\mathbf{R}_\infty$. Người ta cũng nói rằng $\mathfrak{K}(y)$ thu được bằng cách nối $y$ vào $\mathfrak{K}$.

Thật vậy, $(\log|y|)' = y'/y$ bằng một hàm trong $\mathfrak{K}$ trên một khoảng $[ x_0, +\infty[$.

HỆ QUẢ 2 Nếu $y$ là một hàm bất kỳ trong $\mathfrak{K}$, thì $\mathfrak{K}(e^y)$ là một trường Hardy.

Thật vậy, $(e^y)' = e^y y'$, và $y'$ bằng một hàm trong $\mathfrak{K}$ trên một khoảng $[ x_0, +\infty[$.

HỆ QUẢ 3 Nếu $\mathfrak{K}$ chứa các hằng số thực, và nếu $y$ là một hàm trong $\mathfrak{K}$, không đồng nhất bằng không trên một lân cận của $+\infty$, thì $\mathfrak{K}(|y|^{\alpha})$ là một trường Hardy với mọi số thực $\alpha$.

Thật vậy, $\frac{d}{dx}(|y|^{\alpha}) = |y|^{\alpha} (\alpha y'/y)$, và $\alpha y'/y$ bằng một hàm trong $\mathfrak{K}$ trên một khoảng $[ x_0, +\infty[$.

Cuối cùng, chú ý rằng nếu $y$ là nguyên hàm của một hàm bất kỳ nào trong $\mathfrak{K}$ thì $\mathfrak{K}(y)$ lại là một trường Hardy.

Thật vậy, nếu $f$ thuộc một trường Hardy $\mathscr{K}$, thì với mọi số nguyên $n > 0$ tồn tại một khoảng $[x_0, +\infty[$ trên đó $f$ khả vi $n$ lần, đạo hàm bậc $n$ của nó bằng một hàm trong $\mathscr{K}$ trên khoảng này. Vì thế chỉ cần chỉ ra rằng hai hàm bất kỳ $f, g$ của $\mathscr{K}$ là khả so sánh. Điều này hiển nhiên nếu một trong hai hàm đồng nhất bằng không trên một lân cận của $+\infty$; do đó có thể chỉ xét trường hợp cả hai đều dương ngặt trên một lân cận của $+\infty$. Nhưng khi đó, với mọi số thực $t$, $f - tg$ bằng một hàm trong $\mathscr{K}$ trên một lân cận của $+\infty$, nên có dấu hằng trên một lân cận của $+\infty$, điều này chứng minh mệnh đề (V, p. 217, prop. 9).

Người ta suy ra ngay lập tức từ mệnh đề này rằng, nếu một trường Hardy $\mathscr{K}$ chứa các hằng thực (như ta sẽ luôn giả thiết trong phần sau), và nếu $f$ và $g$ là hai hàm bất kỳ trong $\mathscr{K}$ thì bất kỳ hai hàm nào trong các hàm $e^f, e^g, \log |f|, \log |g|, |f|^{\alpha}, |g|^{\alpha}$ ($\alpha$ là một số thực tùy ý), $\int_a f, \int_a g$ ($a$ là một số thực bất kỳ trong một khoảng $[x_0, +\infty[$ nơi $f$ và $g$ bị chặn biến thiên) đều khả so sánh (khi chúng được xác định); thật vậy, bất kỳ hai hàm nào trong số các hàm ấy đều thuộc về một trường Hardy nhất định nhận được bằng cách lần lượt thêm chúng vào $\mathscr{K}$.

Tương tự, mọi hàm $f(x)$ trong một trường Hardy $\mathscr{K}$ đều khả so sánh với $x$, vì $x$ và $f(x)$ thuộc trường Hardy nhận được bằng cách thêm $x$ vào $\mathscr{K}$. Do đó suy ra (đặc biệt) rằng $f$ khả so sánh đối với mọi cấp với mọi lũy thừa $x^{\alpha}$, cũng như với $\log x$ và với $e^x$.

Cũng thấy rằng nếu $f$ và $g$ thuộc cùng một trường Hardy $\mathscr{K}$, nếu $g(x) > 0$ trên một khoảng $[x_0, +\infty[$, và nếu $g(x)$ tiến tới 0 hoặc tới $+\infty$ khi $x$ tiến tới $+\infty$, thì cấp của $f$ đối với $g$ (V, p. 219) luôn luôn được xác định.

Vì thế Mệnh đề 8 của V, p. 233, áp dụng được cho mọi hàm $f$ trong một trường Hardy, và chứng minh rằng:

1) nếu $f$ có cấp $+\infty$ đối với $x$ thì $\int_a^x f(t)\,dt \sim (f(x))^2/f'(x)$.

2) nếu $f$ có cấp $\mu > -1$ đối với $x$ thì $\int_a^x f(t)\,dt \sim \frac{1}{\mu+1} x f(x)$.

3) nếu $f$ có cấp $\mu < -1$ đối với $x$ thì $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt \sim -\frac{1}{\mu+1} x f(x)$.

4) nếu $f$ có cấp $-\infty$ đối với $x$ thì $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt \sim -(f(x))^2/f'(x)$.

Hơn nữa, ta có mệnh đề sau đây:

1 Nếu $f$ có cấp vô hạn đối với $x$ thì, với mọi số nguyên $n > 0$,

(2)

2° Nếu $f$ có cấp hữu hạn $\mu$ đối với $x$ thì, với mọi $n > 0$,

(3) trừ khi $\mu$ là một số nguyên $\geqslant 0$ và $n > \mu$.

1 Nếu $f$ có cấp vô hạn đối với $x$ thì ta có $\log |f| \gg \log x$, nên, vì $\log |f|$ và $\log x$ so sánh được ở mọi cấp, $f'/f \gg 1/x$. Đặt $g = f'/f$; vì $g$ bằng một hàm trong $\mathscr{K}$ trên một lân cận của $+\infty$ nên từ $1/g \ll x$ suy ra $g'/g^2 \ll 1$, và do đó $g'/g \ll g = f'/f$, hay tương đương $fg' \ll gf'$. Từ quan hệ $f' = fg$ suy ra bằng cách lấy đạo hàm rằng

hay tương đương $f''/f' \sim f'/f$. Lập luận tương tự, áp dụng cho $f^{(n)}$ thay cho $f$, cho thấy, bằng quy nạp theo $n$, rằng $f^{(n)}/f^{(n-1)} \sim f'/f$; do đó có quan hệ (2).

2 Nếu $f$ có cấp hữu hạn $\mu$ đối với $x$, và nếu $\mu \neq 0$, thì ta có $\log |f| \sim \mu \log x$, do đó, khi lấy đạo hàm, $f'(x) \sim \mu \frac{f(x)}{x}$; suy ra $f'$ có cấp $\mu - 1$ đối với $x$, điều này cho phép áp dụng cùng lập luận bằng quy nạp theo $n$ chừng nào $\mu \neq n$, do đó có công thức (3) khi $\mu$ không phải là một số nguyên $\geqslant 0$ và $< n$.

Khi $f$ có cấp nguyên $p \geqslant 0$ đối với $x$ thì có thể viết $f(x) = x^p f_1(x)$, trong đó $f_1$ có cấp 0 đối với $x$. Theo mệnh đề 2 ta có

Để tính các đạo hàm cấp $n > p$ có thể quy về trường hợp $p = 0$. Khi đó ta có $\log |f| \ll \log x$, do đó $f'(x)/f(x) \ll 1/x$, nói cách khác $x f'(x) \ll f(x)$; nếu $f$ không tương đương với một hằng $k \neq 0$ thì, khi lấy đạo hàm quan hệ này (V, p. 232, mệnh đề 7), ta có $x f''(x) + f'(x) \ll f'(x)$, điều này kéo theo $x f''(x) \sim -f'(x)$. Có tính đến công thức này, người ta thấy bằng quy nạp theo $n$ rằng $f^{(n)}$ có cấp $\leqslant -n$ đối với $x$, và rằng (4)

Nếu $f$ tương đương với một hằng $k \neq 0$ thì ta có $f(x) = k + f_2(x)$ với $f_2 \ll 1$, và quy về việc nghiên cứu các đạo hàm của $f_2$.

Ký hiệu bởi $\mathscr{K}$ tập hợp các hàm $f \in \mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ có các tính chất sau: với mỗi hàm $f \in \mathscr{K}$, tồn tại một số hữu hạn các trường Hardy $\mathscr{K}_1, \mathscr{K}_2, \ldots, \mathscr{K}_n$ (số $n$ và các trường $\mathscr{K}_i$ phụ thuộc vào $f$) sao cho $f \in \mathscr{K}_n$ và, với $0 \leq i \leq n-1$, ta có $\mathscr{K}_{i+1} = \mathscr{K}_i(u_{i+1})$ trong đó $u_{i+1}$ bằng hoặc $e^{z_i}$ hoặc $\log |z_i|$, với $z_i$ thuộc $\mathscr{K}_i$ và không đồng nhất triệt tiêu trên một lân cận của $+\infty$. Ta nói rằng $u_1, u_2, \ldots, u_n$ tạo thành một dãy định nghĩa cho trường $\mathscr{K}_n$ và cho hàm $f$; dĩ nhiên cùng một hàm có thể chấp nhận nhiều dãy định nghĩa.

Theo định nghĩa 1 của V, p. 247, mọi hàm $f \in \mathscr{K}$ không đồng nhất bằng không trên một lân cận của $+\infty$ đều có dấu không đổi và khả vi trên một khoảng $[x_0, +\infty[$; nếu $f \in \mathscr{K}_n$, thì $1/f$ và $f'$ trùng với các hàm trong $\mathscr{K}_n$, do đó với các hàm trong $\mathscr{K}$, trên một lân cận của $+\infty$. Để thấy rằng $\mathscr{K}$ là một trường Hardy, chỉ cần chứng minh rằng nếu $f$ và $g$ là hai hàm trong $\mathscr{K}$ thì $f - g$ và $fg$ trùng với các hàm trong $\mathscr{K}$ trên một lân cận của $+\infty$. Bây giờ giả sử $u_1, u_2, \ldots, u_m$ là một dãy định nghĩa của $f$, và $v_1, v_2, \ldots, v_n$ là một dãy định nghĩa của $g$. Dãy $u_1, u_2, \ldots, u_m, v_1, v_2, \ldots, v_n$ thu được bằng cách ghép các dãy $(u_i)$ và $(v_i)$ lại vẫn là một dãy định nghĩa của một trường Hardy $\mathscr{K}_{m+n}$, và trường này chứa $f$ và $g$, nên $f - g$ và $fg$ trùng với các hàm trong $\mathscr{K}_{m+n}$ trên một lân cận của $+\infty$.

Ta nói rằng trường Hardy $\mathscr{K}$ được định nghĩa trong chứng minh của mệnh đề 3 là mở rộng (H) của trường Hardy $\mathscr{K}_0$.

Nếu $\mathscr{K}'$ là một trường Hardy khác có các tính chất được phát biểu trong mệnh đề 3, thì từ phép dựng của $\mathscr{K}$ suy ra rằng $\mathscr{K}/\mathbf{R}_\sim$ được chứa trong $\mathscr{K}'/\mathbf{R}_\sim$. Theo lối nói lạm dụng, ta nói rằng mở rộng (H) của trường Hardy $\mathscr{K}_0$ là trường Hardy $\mathscr{K}$ nhỏ nhất có các tính chất ấy.

1° Nếu $q \ll p/p'$ thì ta có $p(x + q(x)) \sim p(x)$. 2° Nếu đồng thời $q \ll p/p'$ và $q(x) \ll x$ thì $p(x - q(x)) \sim p(x)$.

Hai phần của mệnh đề này là hiển nhiên nếu $p \sim k$ (hằng $\neq 0$); do đó có thể giả sử rằng $p(x) \ll 1$ (nếu không thì áp dụng lập luận cho $1/p$). Khi đó suy ra $p'(x) \ll 1$.

1° Có thể viết $p(x + q(x)) = p(x) + q(x)p'(x + \theta q(x))$ với $0 \leq \theta \leq 1$ (I, p. 14, hệ quả). Vì $|p'(x)|$ tiến tới 0 khi $x$ tiến tới $+\infty$, và bằng với một hàm (H) trên một lân cận của $+\infty$, nên nó giảm trên một khoảng $[x_1, +\infty[$, do đó, với $x \geq x_1$, ta có $|p'(x + \theta q(x))| \leq |p'(x)|$; vì $qp' \ll p$ nên ta có $p(x + q(x)) \sim p(x)$.

2° Điều kiện $q(x) \ll x$ bảo đảm rằng $x - q(x)$ tiến tới $+\infty$ cùng với $x$. Lại có $p(x - q(x)) = p(x) - q(x)p'(x - \theta p(x))$ với $0 \leq \theta \leq 1$. Cùng một lập luận như trong phần thứ nhất của chứng minh cho thấy rằng, với $x$ đủ lớn, $|p'(x - \theta q(x))| \leq |p'(x - q(x))|$. Khi đó chỉ còn phải chứng minh rằng $q(x) \frac{p'(x - q(x))}{p(x - q(x))}$ tiến tới 0 khi $x$ tiến tới $+\infty$. Mệnh đề là đúng nếu $p'/p \gg 1$ vì khi đó $|p'/p|$ là một hàm (H), tăng khi $x$ đủ lớn; do đó $q(x) \frac{|p'(x - q(x))|}{|p(x - q(x))|} \leq q(x) \frac{|p'(x)|}{|p(x)|}$, và $qp' \ll p$ theo giả thiết. Nó cũng đúng nếu $p'/p \sim k$ ($k$ hằng $\neq 0$), vì khi đó

vì $x - q(x)$ tiến tới $+\infty$. Chỉ còn lại trường hợp $p'/p \ll 1$ cần xét. Trước hết giả sử rằng $p(x)$ có cấp hữu hạn đối với $x$, và do đó (V, p. 232, mệnh đề 7) $p'(x)/p(x) \ll 1/x$. Khi đó ta có

nên và trong trường hợp này ta thấy mệnh đề là đúng với chỉ riêng giả thiết $q(x) \ll x$. Sau cùng xét trường hợp $1/x \ll p'(x)/p(x) \ll 1$; khi đó hàm $r = p'/p$ có cấp hữu hạn đối với $x$; vì, theo nhận xét trước, mệnh đề 4 của V, p. 255, áp dụng được cho một hàm như vậy, nên ta có $p'(x-q(x))/p(x-q(x)) \sim p'(x)/p(x)$, và giả thiết $qp' \ll p$ cho phép hoàn tất chứng minh.