Thật vậy, theo giả thiết tồn tại một số $b \geqslant a$ và một số $c' > 0$ sao cho

do đó hơn nữa, vì ta có thể giả sử $b$ đủ lớn để $\int_a^b g(t)\,dt > 0$, nên tồn tại một số $c'' > 0$ sao cho $\left\| \int_a^b \mathbf{f}(t)\,dt \right\| \leqslant c'' \int_a^b g(t)\,dt$; khi đặt $c = \max(c', c'')$ do đó ta có với mọi $x \geqslant b$, do đó suy ra mệnh đề.

Tiêu chuẩn này không kết luận được khi $1/x^{1+\alpha} \ll f(x) \ll 1/x$ với mọi số mũ $\alpha > 0$, như chẳng hạn khi $f(x) = 1/x(\log x)^\mu$ ($\mu > 0$). Nhưng trong trường hợp sau cùng này f có nguyên hàm là $\frac{1}{1-\mu} (\log x)^{1-\mu}$ nếu $\mu \neq 1$ và $\log \log x$ khi $\mu = 1$. Do đó:

Nói chung, với mọi số nguyên $n \geq 0$, ta ký hiệu bởi $l_n(x)$ hàm được xác định theo quy nạp (với x đủ lớn) bởi các hệ thức $l_0(x) = x$, $l_n(x) = \log(l_{n-1}(x))$ với $n \geq 1$; ta nói rằng $l_n(x)$ là lôgarit lặp thứ n của x (x. Phụ lục). Ta kiểm tra ngay lập tức rằng $\frac{1}{1-\mu} (l_n(x))^{1-\mu}$ là một nguyên hàm của

với $\mu \neq 1$, và $l_{n+1}(x)$ là một nguyên hàm của $\frac{1}{x l_1(x) l_2(x) \ldots l_{n-1}(x) l_n(x)}$. Do đó:

Vì vậy, mỗi tiêu chuẩn lôgarit đều áp dụng được cho các hàm mà các tiêu chuẩn cấp thấp hơn không kết luận được (x. V, p. 264, bài tập 5 b) và V, p. 265, bài tập 8).

Vì tính hữu dụng của nó, chúng tôi phát biểu tiêu chuẩn cấp 0 cho các tích phân $\int_{\alpha}^{a} f(t) \, dt$ trong đó $f$ là điều tiết và $\geq 0$ trên một khoảng không compact $]\alpha, a]$:

Chúng tôi để bạn đọc tự phát biểu tương tự tiêu chuẩn lôgarit cấp $n$.

Việc áp dụng các tiêu chuẩn lôgarit là ngay lập tức nếu người ta biết cách thu được phần chính của $f$ đối với một thang so sánh chứa các hàm xuất hiện trong các tiêu chuẩn ấy: nếu $f_1$ là phần chính, thì tích phân $\int_{\alpha}^{+\infty} f(t) \, dt$ hội tụ hoặc là vô hạn đồng thời với $\int_{\alpha}^{+\infty} f_1(t) \, dt$, và các tiêu chuẩn lôgarit áp dụng ngay lập tức cho tích phân sau này.

1. *Nếu tích phân $\int_{a}^{+\infty} g(t) \, dt$ hội tụ thì quan hệ $\mathbf{f} \ll g$ (tương ứng $\mathbf{f} \sim c g$, trong đó $c$ là hằng số) kéo theo rằng $\int_{x}^{+\infty} \mathbf{f}(t) \, dt \ll \int_{x}^{+\infty} g(t) \, dt$ (tương ứng $\int_{x}^{+\infty} \mathbf{f}(t) \, dt \sim c \int_{x}^{+\infty} g(t) \, dt$).

2. Nếu tích phân $\int_{a}^{+\infty} g(t) \, dt$ là vô hạn thì quan hệ $\mathbf{f} \ll g$ (resp. $\mathbf{f} \sim c g$) kéo theo rằng

với mọi $\alpha$ và $\beta$ trong $[a, +\infty[$.

Chỉ cần chứng minh mệnh đề cho quan hệ $\mathbf{f} \ll g$ vì, nếu $c \neq 0$, quan hệ $\mathbf{f} \sim c g$ tương đương với $\mathbf{f} - c g \ll g$.

Phần thứ nhất là một hệ quả ngay lập tức của định lý giá trị trung bình, vì nếu $\| \mathbf{f}(x) \| \leq \varepsilon g(x)$ với $x \geq x_0$ thì suy ra rằng

Tiếp theo, giả sử rằng $\int_{a}^{+\infty} g(t) \, dt = +\infty$. Nếu $\| \mathbf{f}(x) \| \leq \varepsilon g(x)$ với $x \geq x_0 \geq \max(\alpha, \beta)$, ta có

Bây giờ tồn tại một $x_1 \geq x_0$ sao cho với mọi $x \geq x_1$

do đó, với $x \geq x_1$

điều này hoàn tất chứng minh, vì $\varepsilon > 0$ là tùy ý.

Nói cách khác, có thể lấy tích phân hai vế của một quan hệ mạnh $\mathbf{f} \ll g$, $\mathbf{f} \sim \mathbf{a}g$, khi $g$ là dương trên một khoảng $[a, +\infty[$, và quan hệ đó vẫn còn đúng giữa các nguyên hàm của hai vế, với điều kiện chú ý lấy tích phân từ $x$ đến $+\infty$ nếu $\int_{a}^{+\infty} g(t) \, dt$ hội tụ, và từ $\alpha$ đến $x$ (với mọi $\alpha$ trong $[a, +\infty[$) trong trường hợp đối.

Chú ý rằng các mệnh đề 1 (V, p. 228) và 6 (V, p. 230) vẫn còn đúng khi $\mathfrak{F}$ là một cơ sở của bộ lọc vết của các khoảng $[t, +\infty[$ (trong đó $t > a$) trên phần bù của một tập hợp đếm được (xem I, p. 15, định lý 2).

Bây giờ, vì $f'$ và $g'$ có dấu không đổi trên một khoảng $[x_0, +\infty[$, nên cả $f$ lẫn $g$ đều đơn điệu trên khoảng này, do đó tiến tới một giới hạn hữu hạn hoặc vô hạn khi $x$ tiến tới $+\infty$. Rõ ràng là $f$ và $g$ so sánh được khi $x$ tiến tới $+\infty$ nếu một trong các giới hạn ấy là hữu hạn và $\neq 0$, hoặc nếu một giới hạn là không còn giới hạn kia là vô hạn. Nếu cả $f$ và $g$ đều tiến tới 0 thì có thể viết $f(x) = -\int_x^{+\infty} f'(t) \, dt,\ g(x) = -\int_x^{+\infty} g'(t) \, dt$; vì $f'$ và $g'$ so sánh được nên điều tương tự cũng đúng với $f$ và $g$, và quan hệ so sánh giữa $f$ và $g$ là cùng một quan hệ như giữa $f'$ và $g'$, theo mệnh đề 6 (V, p. 20). Tương tự, nếu $f$ và $g$ đều có một giới hạn vô hạn thì ta có $f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t) \, dt,\ g(x) = g(x_0) + \int_{x_0}^x g'(t) \, dt$; lại nữa, mệnh đề 6 (V, p. 230) cho thấy rằng $f$ và $g$ so sánh được và rằng quan hệ so sánh giữa $f$ và $g$ là cùng một quan hệ như giữa $f'$ và $g'$. Để hoàn tất chứng minh, còn lại phải xét trường hợp $g$ tiến tới $\pm \infty$ còn $f$ tiến tới một hằng; khi đó không thể có $f' \succcurlyeq g'$, vì khi ấy có thể suy ra từ mệnh đề 1 (V, p. 218) rằng tích phân $\int_{x_0}^{+\infty} g'(t) \, dt$ hội tụ; vì đã giả thiết rằng $f'$ và $g'$ so sánh được, nên phải có $f' \ll g'$.

Thật vậy, vì $f^{(k)}$ và $g^{(k)}$ có dấu không đổi trên một khoảng $[x_0, +\infty[$, suy ra $f^{(k-1)}$ và $g^{(k-1)}$ đơn điệu trên khoảng này, nên có dấu không đổi trên một lân cận của $+\infty$; hơn nữa, mệnh đề 7 của V, p. 232, cho thấy rằng $f^{(k-1)}$ và $g^{(k-1)}$ là so sánh được, vì thế hệ quả suy ra bằng cách áp dụng đệ quy mệnh đề 7.

1 Nếu $f$ có cấp hữu hạn $\mu \neq -1$ đối với $x$ thì ta có

(1)

2 Nếu $f$ có cấp vô hạn đối với $x$ và nếu $f/f'$ và $x$ là so sánh được cấp 1, thì ta có

(2)

Cần chú ý rằng giả thiết kéo theo $f(x)$ có một cấp xác định đối với $x$ (V, p. 219).

1 Nếu $f$ có cấp $\mu \neq 0$ đối với $x$ thì ta có $\log|f| \sim \mu \log x$, nên, vì $\log|f|$ và $\log x$ so sánh được cấp 1, theo mệnh đề 7 của V, p. 232 ta có $f'/f \sim$ μ/x, do đó $x f' \sim \mu f$. Nếu $\mu > -1$ thì ta có $f(x) \gg x^{\mu-\varepsilon}$ với mọi $\varepsilon > 0$, và do đó (V, p. 229, mệnh đề 2) tích phân $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ là vô hạn. Ta có thể viết $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt = x f(x) - af(a) - \int_a^x t f'(t)\,dt$, do đó lại có

vì $\mu \neq -1$ nên ta có $f(x) + x f'(x) \sim (\mu + 1) f(x)$, do đó (V, p. 230, mệnh đề 6) điều này chứng minh (1) trong trường hợp này. Nếu $\mu = 0$ thì tương tự ta có $x f'(x) \ll f(x)$, điều này lại cho $f(x) + x f'(x) \sim f(x)$. Ta lập luận tương tự khi $\mu < -1$, trong trường hợp $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ hội tụ.

2) Nếu $f$ có cấp $+\infty$ đối với $x$ thì ta có $\log |f| \gg \log x$, nên (V, p. 232, mệnh đề 7) $f'/f \gg 1/x$, hay cũng vậy, đặt $g(x) = f(x)/f'(x)$, thì $g(x) \ll x$; hơn nữa, vì $f(x) \gg x^\alpha$ với mọi $\alpha > 0$ nên tích phân $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ là vô hạn. Ta có thể viết

vì $g$ và $x$ so sánh được cấp 1, từ quan hệ $g(x) \ll x$ người ta có thể suy ra (V, p. 232, mệnh đề 7) rằng $g'(x) \ll 1$, do đó $f g' \ll f$, và vì vậy (V, p. 230, mệnh đề 6) điều này thiết lập quan hệ (2). Chứng minh là tương tự khi $f$ có cấp $-\infty$ đối với $x$, trong trường hợp $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ hội tụ.

Cho $\mathscr{E}$ là một thang so sánh (đối với $x$ thực tiến tới $+\infty$) được tạo thành từ các hàm thực khác không có dấu không đổi trên một lân cận của $+\infty$, sao cho $x \in \mathscr{E}$ và sao cho tích và thương của hai hàm trong $\mathscr{E}$ lại thuộc $\mathscr{E}$ (V, p. 221 và p. 224). Nếu một hàm điều hòa $f$ có dấu không đổi trên một lân cận của $+\infty$ có phần chính $c g$ đối với $\mathscr{E}$, thì $\int_x^{+\infty} f(t)\,dt$ (tương ứng $\int_a^x f(t)\,dt$ tùy theo trường hợp) sẽ tương đương với $c \int_x^{+\infty} g(t)\,dt$ (tương ứng $c \int_a^x g(t)\,dt$); nếu hàm $g$ thỏa mãn các giả thiết của mệnh đề 8 của V, p. 233, và nếu (khi công thức (2) của V, p. 233, áp dụng được) ta biết một phần chính của $g'$ đối với $\mathscr{E}$, thì do đó ta sẽ có một phần chính của $\int_x^{+\infty} f(t)\,dt$ (tương ứng $\int_a^x f(t)\,dt$) đối với $\mathscr{E}$.