§ 2. Khai triển tiệm cận

1. Thang so sánh

Cho E là một tập hợp được lọc bởi một bộ lọc có cơ sở $\mathfrak{F}$, và K là một trường định giá không rời rạc (thường nhất là $K = \mathbf{R}$ hoặc $K = \mathbf{C}$). Trên tập hợp các hàm trong $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, K)$ không tương đương với 0 modulo $R_\infty$ (nghĩa là, những hàm mà trong mọi tập hợp thuộc $\mathfrak{F}$ đều có ít nhất một điểm tại đó hàm không triệt tiêu), quan hệ " $f \ll g$ or $f = g$" là một quan hệ thứ tự.

Nói cách khác, nếu $f$ và $g$ là các hàm trong $\mathscr{E}$ thì một (và chỉ một) trong các quan hệ $f \ll g$, $g \ll f$, $f = g$ luôn đúng. Suy ra rằng trên $\mathscr{E}$, quan hệ $f \asymp g$ (và a fortiori $|f| \sim a\,|g|$, trong đó $a$ là một số $> 0$) kéo theo $f = g$.

Mọi tập con của một thang so sánh rõ ràng cũng là một thang so sánh.

2. Các phần chính và các khai triển tiệm cận

Cho $\mathscr{E}$ là một thang so sánh được tạo bởi các hàm có giá trị trong một trường được định giá không rời rạc K. Cho V là một không gian định chuẩn trên K, và cho $\mathbf{f}$ là một hàm trong $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$; nếu tồn tại một hàm $g \in \mathscr{E}$ và một phần tử $\mathbf{a} \neq 0$ của V sao cho $\mathbf{f} \sim \mathbf{a}g$, ta nói rằng $\mathbf{a}g$ là một phần chính của $\mathbf{f}$ đối với thang $\mathscr{E}$. Theo định nghĩa 1 của V, p. 10, $\mathbf{f}$ chỉ có thể có một phần chính đối với $\mathscr{E}$, vì nếu $g_1,\ g_2$ là hai hàm trong $\mathscr{E}$ và $\mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_2$ là hai phần tử $\neq 0$ của V, thì quan hệ $\mathbf{a}_1 g_1 \sim \mathbf{a}_2 g_2$ kéo theo $|g_1| \asymp |g_2|$ và do đó $g_1 = g_2$, do đó $(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1)g_1 \ll g_1$, và vì $g_1$ không đồng nhất bằng không trên bất kỳ tập hợp nào trong $\mathscr{E}$ nên điều này kéo theo $\mathbf{a}_2 = \mathbf{a}_1$.

Nếu $\mathbf{f}$ có một phần chính đối với một thang so sánh $\mathscr{E}$ thì nó có cùng phần chính đó đối với mọi thang so sánh $\mathscr{E}' \supset \mathscr{E}$.

Để diễn đạt việc $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ là một khai triển tiệm cận của $f$ với độ chính xác $g_\alpha$ người ta thường hạn chế ở cách viết

nếu có nhiều hàm trong chứng minh), theo ký hiệu của V, p. 219 và 220.

Trong hai khai triển tiệm cận (của hai hàm, phân biệt hoặc không) đối với cùng một thang $\mathscr{E}$, người ta nói rằng khai triển có độ chính xác với chỉ số lớn hơn là khai triển chính xác hơn.

Nếu $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ là một khai triển tiệm cận của $f$ với độ chính xác $g_\alpha$, thì với mọi $\beta < \alpha$, $\sum_{\lambda \leq \beta} a_\lambda g_\lambda$ là một khai triển tiệm cận của $f$ với độ chính xác $g_\beta$ (V, p. 215, mệnh đề 5): người ta nói rằng nó thu được bằng cách giảm độ chính xác của khai triển đã cho $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ của $f$ xuống $g_\beta$.

Nếu $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ và $\sum_{\lambda \leq \alpha} b_\lambda g_\lambda$ là các khai triển tiệm cận đến cùng độ chính xác $g_\alpha$ của hai hàm $f_1, f_2$, thì $\sum_{\lambda \leq \alpha} (a_\lambda + b_\lambda) g_\lambda$ là một khai triển tiệm cận của $f_1 + f_2$ đến độ chính xác $g_\alpha$ (V, p. 215, prop. 5); và với mọi vô hướng $c$, $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda c g_\lambda$ là một khai triển tiệm cận của $f_1 c$ đến độ chính xác $g_\alpha$. Suy ra rằng nếu một hàm thừa nhận một khai triển tiệm cận đến độ chính xác $g_\alpha$ thì khai triển này là duy nhất: chỉ cần thấy rằng hàm 0 không thừa nhận một khai triển tiệm cận với độ chính xác $g_\alpha$ có các hệ số $\neq 0$. Thật vậy, nếu $0 = \sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda + r_\alpha$, và nếu $\gamma$ là nhỏ nhất trong các chỉ số $\lambda \leq \alpha$ sao cho $a_\lambda \neq 0$, thì sẽ có $a_\gamma g_\gamma = - \sum_{\gamma < \lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda - r_\alpha \ll g_\gamma$, điều này vô lý.

Nói rằng một hàm $f$ thừa nhận một khai triển tiệm cận đến độ chính xác $g_\alpha$, mà mọi hệ số đều bằng không, là tương đương với nói rằng $f \ll g_\alpha$. Nếu $f$ thừa nhận một khai triển tiệm cận $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ đến độ chính xác $g_\alpha$ mà các hệ số không phải tất cả đều bằng không, và nếu $\gamma$ là nhỏ nhất trong các chỉ số $\lambda$ sao cho $a_\lambda \neq 0$, thì $a_\gamma g_\gamma$ là phần chính của $f$ đối với thang $\mathscr{E}$, vì ta có $f - a_\gamma g_\gamma = \sum_{\gamma < \lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda + r_\alpha \ll g_\gamma$; tương tự, nếu $\mu \leq \alpha$ là một chỉ số sao cho $a_\mu \neq 0$, thì $a_\mu g_\mu$ là phần chính của $f - \sum_{\lambda < \mu} a_\lambda g_\lambda$.

Những khai triển tiệm cận quan trọng nhất trong các ứng dụng là những khai triển đối với thang của các $x^{-n}$ (tương ứng của các $z^{-n}$), trong đó $n$ là một số nguyên dương hoặc âm, khi $x$ tiến tới $+\infty$ hoặc $-\infty$ (tương ứng khi số phức $z$ tiến tới $\infty$), hoặc đối với thang của các $(x - c)^n$ (tương ứng $(z - c)^n$) khi số thực $x$ tiến tới $c$ từ phải hoặc từ trái (tương ứng khi số phức $z$ tiến tới $c$). Ta đã thấy ở I, p. 21 rằng mọi hàm vectơ của biến thực $x$ khả vi $k$ lần tại một điểm $c \in \mathbf{R}$ đều chấp nhận một khai triển Taylor cấp $k$ tại điểm này, nghĩa là, một khai triển tiệm cận với độ chính xác $(x - c)^k$ đối với thang của các $(x - c)^n$.

3. Tổng và tích của các khai triển tiệm cận

Nếu $f_1, f_2$ có các khai triển tiệm cận với độ chính xác $g_\alpha$ và $g_\beta$ tương ứng, đối với một thang so sánh $\mathscr{E}$, thì suy ra được các khai triển với độ chính xác $g_{\min(\alpha, \beta)}$ bằng cách cắt ngắn hai khai triển đó đến độ chính xác này; ta đã thấy ở V, p. 222 cách thu được một khai triển tiệm cận của $f_1 + f_2$ với độ chính xác $g_{\min(\alpha, \beta)}$.

Cho $V_1, V_2$ và $V$ là ba không gian định chuẩn trên trường $K$, và gọi $(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto [\mathbf{x}. \mathbf{y}]$ là một ánh xạ song tuyến tính liên tục từ $V_1 \times V_2$ vào $V$; hơn nữa, trong phần còn lại của tiết này, ta giả sử rằng thang $\mathscr{E}$ được chọn sao cho tích của hai hàm bất kỳ trong $\mathscr{E}$ lại vẫn thuộc $\mathscr{E}$ (điều này đúng với mọi thang so sánh được cho làm ví dụ (trong V, p. 220)).

Bây giờ, cho $f_1, f_2$ là hai hàm thuộc $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_1)$ và $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_2)$ tương ứng, có các khai triển tiệm cận $f_1 = \sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda + r_\alpha$ và $f_2 = \sum_{\mu \leq \beta} b_\mu g_\mu + r_\beta$ với độ chính xác tương ứng là $g_\alpha$ và $g_\beta$, đối với thang $\mathscr{E}$. Giả sử thêm rằng các $a_\lambda$ không đồng thời đều bằng không và các $b_\mu$ cũng không đồng thời đều bằng không, và gọi $a_\gamma g_\gamma$ và $b_\delta g_\delta$ là các phần chính của $f_1$ và $f_2$. Theo giả thiết, có thể viết $g_\gamma g_\beta = g_\rho$ và $g_\delta g_\alpha = g_\sigma$; ta sẽ chỉ ra rằng tổng $\sum [\mathbf{a}_\lambda . \mathbf{b}_\mu] g_\lambda g_\mu$ lấy trên mọi cặp $(\lambda, \mu)$ sao cho $g_{\min(\rho, \sigma)} \ll g_\lambda g_\mu$, là một khai triển tiệm cận của $[f_1.f_2]$ với độ chính xác $g_{\min(\rho, \sigma)}$. Bây giờ hiệu giữa $[f_1.f_2]$ và tổng này là tổng của một số hữu hạn số hạng, mỗi số hạng hoặc có dạng $[\mathbf{a}_\lambda . \mathbf{b}_\mu] g_\lambda g_\mu$ với $g_\lambda g_\mu \ll g_{\min(\rho, \sigma)}$, hoặc có dạng $[\mathbf{a}_\lambda . \mathbf{r}_\beta] g_\lambda$ trong đó $\lambda \geq \gamma$, hoặc có dạng $[\mathbf{r}_\alpha . \mathbf{b}_\mu] g_\mu$ trong đó $\mu \geq \delta$; nhưng vì $[\mathbf{x}. \mathbf{y}]$ là liên tục, suy ra từ (V, p. 213, mệnh đề 3 and V, p. 215, mệnh đề 6) rằng $[\mathbf{a}_\lambda . \mathbf{r}_\beta] g_\lambda \preccurlyeq \mathbf{r}_\beta g_\lambda \ll g_\beta g_\gamma = g_\rho$ đối với $\lambda \geq \gamma$, và tương tự $[\mathbf{r}_\alpha . \mathbf{b}_\mu] g_\mu \preccurlyeq \mathbf{r}_\alpha g_\mu \ll g_\alpha g_\delta = g_\sigma$ đối với $\mu \geq \delta$, do đó mệnh đề (V, p. 215, mệnh đề 5).

Nếu mọi $\mathbf{a}_\lambda$ đều bằng không thì ta có $[f_1.f_2] \ll g_\alpha g_\delta$: nói cách khác, ta có một khai triển tiệm cận của $[f_1.f_2]$ với các hạng bằng không, chính xác đến $g_\alpha g_\delta$; tương tự, nếu mọi $\mathbf{a}_\lambda$ và $\mathbf{b}_\mu$ đều bằng không thì ta có một khai triển tiệm cận của $[f_1.f_2]$ với các hạng bằng không chính xác đến $g_\alpha g_\beta$.

Chúng ta sẽ áp dụng kết quả trên chủ yếu cho trường hợp V là một đại số định chuẩn trên K và hàm song tuyến tính $[\mathbf{x}. \mathbf{y}]$ là tích xy trong đại số này; những trường hợp quan trọng nhất là khi V bằng $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$.

Đặc biệt, nếu $f_i$ ($1 \leq i \leq n$) là n hàm trong $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, K)$ mà mỗi hàm đều chấp nhận một khai triển tiệm cận đối với $\mathscr{E}$, thì ta có thể thu được một khai triển tiệm cận đối với $\mathscr{E}$ cho mọi đa thức $\sum_{(v_i)} \mathbf{a}_{v_1 v_2} v_n f_1^{v_1} \ldots f_n^{v_n}$ theo các $f_i$ với hệ số trong một không gian định chuẩn V; hơn nữa, các quy tắc trước cho phép xác định độ chính xác của khai triển thu được, nếu biết độ chính xác của các khai triển của các hàm $f_i$.

4. Hợp thành các khai triển tiệm cận

Cho $f$ là một hàm trong $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ (resp. $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{C})$), thừa nhận một khai triển tiệm cận đến độ chính xác $g_\alpha$ đối với một thang $\mathscr{E}$, và có giới hạn 0 dọc theo bộ lọc có cơ sở $\widetilde{\mathfrak{F}}$. Mặt khác, cho $\mathbf{h}$ là một hàm nhận giá trị trong một không gian chuẩn V trên $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$), được xác định trên một lân cận của điểm 0 trong $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$), và khả vi n lần trên lân cận này; khi đó

trên lân cận này (I, p. 21), do đó, trên một tập hợp thích hợp trong $\widetilde{\mathfrak{F}}$

Ta đã thấy, trong số 3, cách lập một khai triển tiệm cận của $c_0 + c_1 f + \cdots + c_n f^n$ đến cấp chính xác $g_\rho$ được xác định bởi cấp chính xác của khai triển của $f$; hơn nữa, giả sử rằng các hệ số của khai triển tiệm cận của $f$ không đồng thời bằng không, và rằng $a_\gamma g_\gamma$ là phần chính của $f$, và đặt $g_\sigma = g_\gamma^n$; nếu $\sigma < \rho$ thì ta sẽ có một khai triển của $\mathbf{h} \circ f$ đến cấp chính xác $g_\sigma$ khi giới hạn khai triển của $\sum_{k=0}^n c_k f^k$ đến cấp chính xác này; nếu, trái lại, $\rho \leq \sigma$, thì khai triển của $\sum_{k=0}^n c_k f^k$ cũng là một khai triển của $\mathbf{h} \circ f$ đến cấp chính xác $g_\rho$.

Nếu mọi số hạng của khai triển tiệm cận của $f$ đều bằng không, và nếu $g_\alpha \ll 1$, thì $f \ll g_\alpha$ và do đó $f^k \ll g_\alpha^k \ll g_\alpha$ với mọi số nguyên $k > 0$; nếu $c_m$ là hệ số đầu tiên có chỉ số $> 0$ mà khác không (giả sử rằng các $c_k$ với chỉ số $k > 0$ không đồng thời đều bằng 0), thì $c_0$ là một khai triển tiệm cận của $h \circ f$ với độ chính xác $g_\alpha^m$.

Trong phần còn lại của tiết diện này, chúng ta sẽ tự giới hạn vào trường hợp các hàm trong $\mathscr{E}$ nhận giá trị thực và là dương ngặt trên một tập hợp thuộc $\mathfrak{F}$, và chúng ta sẽ chỉ xét các khai triển tiệm cận của các hàm trong $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$. Trước hết, giả sử rằng với mọi hàm $g \in \mathscr{E}$ và mọi số thực $\nu$, $g^\nu$ lại thuộc $\mathscr{E}$: điều kiện này được thỏa mãn, chẳng hạn, bởi thang của các $x^\alpha$ hoặc bởi thang của các $x^\alpha |\log x|^\beta$ ($\alpha$ và $\beta$ là các số thực tùy ý) trên một lân cận của $+\infty$ hoặc một lân cận của 0 trong $\mathbf{R}$. Tính chất này kéo theo rằng thương của hai hàm trong $\mathscr{E}$ lại thuộc $\mathscr{E}$. Như vậy, từ một khai triển tiệm cận tương đối với $\mathscr{E}$ của một hàm $f \in \mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$, đến cấp chính xác $g_\alpha$, người ta có thể suy ra một khai triển của $|f|^\nu$ với mọi số thực $\nu$. Ta hãy tự giới hạn vào trường hợp các hệ số của khai triển của $f$ không đồng thời bằng không, và ký hiệu $a_\gamma g_\gamma$ là phần chính của $f$; khi đó có thể viết $|f|^\nu = |a_\gamma|^\nu g_\gamma^\nu (1 + h)^\nu$, với

Với cùng các giả thiết trên $f$ ta có thể viết

5. Khai triển tiệm cận với hệ số biến thiên

Có thể tổng quát hóa khái niệm phần chính, cũng như khái niệm khai triển tiệm cận, theo cách sau. Cho $\mathscr{E}$ là một thang so sánh gồm các hàm thực (resp. phức) sao cho, đối với mỗi hàm trong số đó, tồn tại một tập hợp trong $\mathfrak{F}$ trên đó hàm không triệt tiêu tại bất kỳ điểm nào. Hơn nữa, cho $C$ là một tập hợp các hàm trong $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ thỏa mãn ba điều kiện sau:

(CO₁) Với mọi hàm $a \in C$ ta có $a \preccurlyeq 1$. (CO₂) Quan hệ $a \ll 1$ đối với một hàm $a \in C$ suy ra $a = 0$. (CO₃) $C$ là một không gian vectơ trên $\mathbf{R}$ (tương ứng $\mathbf{C}$).

Bây giờ, cho $f$ là một hàm bất kỳ trong $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$; nếu tồn tại một hàm $g \in \mathscr{E}$ và một hàm khác không $a \in C$ sao cho $f - ag \ll g$ thì ta sẽ nói rằng $ag$ là một phần chính của $f$, đối với thang so sánh $\mathscr{E}$ và miền hệ số $C$. Nếu một phần chính như vậy tồn tại, thì nó là duy nhất: thật vậy, giả sử có hai phần chính $a_1 g_1$ và $a_2 g_2$; không thể có $g_1 \ll g_2$ vì từ (CO₁) người ta có thể suy ra rằng $a_1 g_1 \ll g_2$ và $f - a_1 g_1 \ll g_1 \ll g_2$, do đó $f \ll g_2$; nhưng khi đó cũng sẽ có $a_2 g_2 \ll g_2$ và do đó $a_2 \ll 1$ mâu thuẫn với giả thiết $a_2 \neq 0$ và (CO₂). Vậy phải có $g_1 = g_2$; từ các hệ thức $f - a_1 g_1 \ll g_1, f - a_2 g_1 \ll g_1$ suy ra rằng $(a_2 - a_1)g_1 \ll g_1$ do đó $a_2 - a_1 \ll 1$, và do đó $a_2 = a_1$, theo (CO₂) và (CO₃).