Montrons d’abord que s’il existe une fonction g satisfaisant aux conditions de l’énoncé, elle est bien déterminée dans l’intervalle ]0, 1[, et par suite dans tout l’intervalle ]0, +∞[. En effet, pour tout entier n > 1, la pente de la droite joignant le point (n, g(n)) au point (x, g(x)) est fonction croissante de x, puisque g est convexe (I, p. 36, prop. 5); on doit donc avoir, pour 0 < x ≤ 1

c’est-à-dire, d’après (3) (4) Or, d’après (3), on a D’autre part, on peut écrire $\log n = \sum_{k=2}^{n} \log \frac{k}{k - 1}$, donc l’inégalité (4) s’écrit Posons, pour tout $n \geq 2$ (5) et

Pour $0 < x \leq 1$, on a donc

Comme $\log \frac{n}{n-1}$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$, on déduit de (6) que si la solution $g$ existe, elle est nécessairement égale, dans ]$0, 1]$, à la limite de $g_n(x)$.

Or, on tire aussitôt de la relation (5) que, pour tout $x$ fixe et $> 0$, on a

lorsque $n$ tend vers $+\infty$, ce qui prouve que la série de terme général $u_n(x)$ converge tout $x > 0$. Chacune des fonctions $u_n(x)$ étant convexe dans ]$0, +\infty[$, ainsi que $-\log x$, la fonction $g(x) = -\log x + \sum_{n=2}^\infty u_n(x)$ est convexe dans cet intervalle (I, p. 35; prop. 2 et prop. 4); enfin, on a $u_n(1) = 0$, d’où $g(1) = 0$, et

d’où

autrement dit, $g$ satisfait à l’équation (3) de VII, p. 2.

(formule de Gauss), et

où $\gamma$ désigne la constante d’Euler, et le produit infini du second membre de (9) est absolument et uniformément convergent dans tout intervalle compact de $\mathbf{R}$ ne contenant aucun entier $< 0$ (formule de Weierstrass).

La fonction $\Gamma(x)$ est indéfiniment dérivable dans $]0, +\infty[$, et on a

et

les séries qui figurent aux seconds membres de (10) et (11) étant absolument et uniformément convergentes dans tout intervalle compact ne contenant aucun entier $\leq 0$.

En effet, la démonstration de la prop. 1 de VII, p. 2, montre que

d’où la formule de Gauss, puisque $\frac{n}{x+n}$ tend vers 1 lorsque $n$ tend vers $+\infty$. On peut aussi écrire

donc (avec les notations de la prop. 1)

et la série de terme général $\log \frac{n}{n-1} - \frac{1}{n-1}$ est absolument convergente et a pour somme $-\gamma$, où $\gamma$ désigne la constante d’Euler (V, p. 32), d’où la formule de Weierstrass.

Pour $|x| \leq a$, on a $|1/(x+n)^k| \leq 1/(n-a)^k$ dès que $n > a$, donc la série du second membre de (11) est absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact de $\mathbf{R}$ ne contenant aucun entier $\leq 0$, quel que soit l’entier $k \geq 2$; le même raisonnement s’applique à la série du second membre de (10), puisque $\left| \frac{1}{n} - \frac{1}{x+n} \right| \leq \frac{a}{n(n-a)}$ pour $|x| \leq a$ et $n > a$. Comme ces séries s’obtiennent en dérivant terme à terme la série

qui converge pour tout $x > 0$, la série de terme général $\frac{x}{n} - \log \left( 1 + \frac{x}{n} \right)$ est absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans $(0, +\infty)$, et on a bien les relations (10) et (11) de VII, p. 4, pour tout $x > 0$ (II, p. 2, th. 1). D’ailleurs, pour tout $x \in \mathbf{R}$, $\frac{x}{n} - \log \left( 1 + \frac{x}{n} \right)$ est défini dès que $n$ est assez grand, donc le th. 1 de II, p. 2, montre encore que le produit infini du second membre de (9) (VII, p. 3) est absolument et uniformément convergent dans tout intervalle compact ne contenant aucun entier $\leq 0$.

La fonction $\Gamma(x)$, définie pour $x > 0$, peut se prolonger à tout l’ensemble des points $x$ distincts des entiers $\leq 0$ de façon à satisfaire à l’équation (7) de VII, p. 3, dans cet ensemble : il suffit, pour $-(n+1) < x < -n$, de poser

D’après la prop. 2 de VII, p. 3, les formules (8), (9), (10) et (11) de VII, p. 3 et 4 sont encore valables dans cet ensemble. La formule (9) (VII, p. 3) montre que $\Gamma(x) \sim 1/x$ lorsque $x$ tend vers 0, d’où, d’après (7) de VII, p. 3, lorsque $x$ tend vers $-n$ ($n$ entier $\geq 0$). La fonction $1/\Gamma(x)$ peut donc être prolongée par continuité à $\mathbf{R}$ tout entier, en lui donnant la valeur 0 aux entiers $\leq 0$; on a alors, pour tout $x \in \mathbf{R}$ et et on montre comme dans la prop. 2 de VII, p. 3 que le produit infini du second membre de (13) est absolument et uniformément convergent dans tout intervalle compact de $\mathbf{R}$.

Comme $\Gamma(x) > 0$ pour $x > 0$, l’équation (7) de VII, p. 3, montre que l’on a $\Gamma(x) < 0$ pour $-(2n-1) < x < -(2n-2)$ et $\Gamma(x) > 0$ pour

$(n$ entier $\geq 1 )$; $\Gamma(x)$ a pour limite à droite $+\infty$ aux points $-2n, -\infty$ aux points $-(2n+1)$, pour limite à gauche $-\infty$ aux points $-2n, +\infty$ aux points $-(2n+1)$ (pour tout $n \in \mathbf{N}$). La formule (11) de VII, p. 4, montre que, pour $k = 2$, le second membre est toujours $\geq 0$ lorsqu’il est défini, donc

et par suite $\Gamma''(x)$ a le signe de $\Gamma(x)$; $\Gamma$ est donc convexe pour $x > 0$ et pour $-(2n+2) < x < -(2n+1)$, concave pour $-(2n+1) < x < -2n$ ($n \in \mathbf{N}$); on en déduit que, dans les intervalles où $\Gamma$ est convexe, $\Gamma'(x)$ croît de $-\infty$ à $+\infty$, et dans les intervalles où $\Gamma$ est concave, $\Gamma'(x)$ décroît de $+\infty$ à $-\infty$. D’où la courbe représentative de $\Gamma$ (fig. 1).

En effet, la relation $D^2(\log f(x)) \geq 0$ s’écrit $f(x)f''(x) - (f'(x))^2 \geq 0$. Nous sommes ramenés à montrer que les relations $a \geq 0,\ a' \geq 0,\ ac - b^2 \geq 0,\ a'c' - {b'}^2 \geq 0$ entraînent $(a + a')(c + c') - (b + b')^2 \geq 0$; or, les relations $a \geq 0,\ ac - b^2 \geq 0$ équivalent au fait que la forme quadratique $ax^2 + 2bxy + cy^2$ est $\geq 0$ dans $\mathbf{R}^2$, et il est clair que si

dans $\mathbf{R}^2$, on a aussi $(a + a')x^2 + 2(b + b')xy + (c + c')y^2 \geq 0$ dans $\mathbf{R}^2$.

Montrons d’abord que, pour tout intervalle compact $K \subset J$, la fonction $g_K(x) = \int_K f(x, t)dt$ est logarithmiquement convexe. En effet, si $K = [a, b]$, la suite des fonctions

converge simplement vers $g_K(x)$ dans $I$ (II, p. 7, prop. 5), donc $\log g_n$ converge simplement vers $\log g_K$; d’après le lemme 1 de VII, p. 6, $\log g_n$ est convexe dans $I$, donc (I, p. 35, prop. 4) il en est de même de $\log g_K$.

D’autre part, $g$ est limite simple des $g_K$ suivant l’ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans $I$ (II, p. 15), donc $\log g$ est limite simple des $\log g_K$; ces dernières fonctions étant convexes dans $I$, il en est de même de $\log g$ (I, p. 35, prop. 4).

On montre facilement que les lemmes 1 et 2 sont encore valables lorsque l’on n’y suppose plus les fonctions deux fois dérivables (VII, p. 20, exerc. 5).

En effet, $\log t^{x-1} = (x - 1) \log t$ est une fonction de $x$ qui est convexe et deux fois dérivable pour tout $t > 0$, donc le lemme 2 est applicable.

En effet, la fonction $g(x) = \int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} dt$ est définie pour tout $x > 0$ (V, p. 19); le lemme 3 de VII, p. 7, montre donc qu’elle est logarithmiquement convexe dans ]0, +∞[. D’autre part, en intégrant par parties, on a

Autrement dit, $g$ est une solution de l’équation (1) de VII, p. 1; enfin, la proposition résulte donc de la prop. 1 de VII, p. 2.

Par le changement de variable $e^{-t} = u$, on déduit de (14) (VII, p. 7) la formule

De même, par le changement de variable $u = t^x$, il vient ou encore, en tenant compte de (7) (VII, p. 1) et en particulier, pour $x = 2$

Il en résulte que $f(x) = B(x, y) \Gamma(x + y)$ satisfait à l’identité (1) de VII, p. 1. D’autre part cette fonction est logarithmiquement convexe, comme produit de deux fonctions logarithmiquement convexes. Enfin, on a $f(1) = B(1, y) \Gamma(y + 1)$, et $B(1, y) = \int_0^1 (1 - t)^{y-1} dt = 1/y$, d’où $f(1) = \frac{1}{y} \Gamma(y + 1) = \Gamma(y)$. La fonction $f(x)/\Gamma(y)$ est donc égale à $\Gamma'(x)$ d’après la prop. 1 de VII, p. 2, ce qui démontre (18).

Par le changement de variable $t = \frac{u}{u + 1}$, la formule (18) devient

et par le changement de variable $t = \sin^2 \varphi$,

Si, dans cette dernière formule, on fait $x = y = \frac{1}{2}$, il vient

d’où, en vertu de (17)

D’après la relation (7) de VII, p. 3, on a pour $\Gamma(x)$, au voisinage de 0, le développement asymptotique

De même, pour tout $y$ fixe et $> 0$, on peut écrire

et la formule (18) donne donc, pour $y$ fixe, le développement asymptotique au voisinage de $x = 0$

D’autre part, pour $x > 0$ et $y > 0$, on a

La fonction $\varphi(t) = \frac{(1-t)^{y-1} - 1}{t}$ est continue dans l’intervalle compact $[0, 1]$; comme avec $|r_n(x, t)| \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} |\log t|^{n+1}$ (puisque $\log t \leq 0$ et $x > 0$), la formule (25) donne pour $\text{B}(x, y)$ le développement asymptotique au voisinage de $x = 0$ Pour $n = 1$, l’identification de ce développement à (24) donne en particulier D’ailleurs la formule (10) donne $\Gamma'(1) = \Gamma'(1)/\Gamma(1) = -\gamma$, donc (intégrale de Gauss)