Bourbaki

Exercice 2, § 3

Fonctions d’une variable réelle, VI, p. 26

Démontrer la formule

12f(x)−f(x+1)+f(x+2)−⋯−f(x+2n−1)+12f(x+2n) \frac{1}{2} f(x) - f(x+1) + f(x+2) - \cdots - f(x+2n-1) + \frac{1}{2} f(x+2n)
=∑k=1pb2k(2k)!(22k−1)(f(2k−1)(x+2n)−f(2k−1)(x))+Vp(x,n) = \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} (2^{2k}-1) \left( f^{(2k-1)}(x+2n) - f^{(2k-1)}(x) \right) + V_p(x,n)
avec
∣Vp(x,n)∣≤4e2π(22p+1+1)(2π)2p+1∫xx+2n∣f(2p+1)(t)∣dt |V_p(x,n)| \leq \frac{4 e^{2\pi}(2^{2p+1}+1)}{(2\pi)^{2p+1}} \int_x^{x+2n} |f^{(2p+1)}(t)| dt
(appliquer la formule d’Euler–Maclaurin à g(x)=f(2x)g(x) = f(2x)).

Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.