§ 3. Majoration du reste de la formule d’Euler–Maclaurin

§ 3. Majoration du reste de la formule d’euler–maclaurin

1. Majoration du reste de la formule d’Euler–Maclaurin

La majoration obtenue dans (16) pour les polynômes de Bernoulli dans l’intervalle $[0, 1]$ permet de majorer aisément le reste $T_p(x, n)$ de la formule d’Euler–Maclaurin (IV, p. 14, formule (39))

\left\{ \begin{aligned} f(x) + f(x+1) + \cdots + f(x+n) \\ = \int_x^{x+n+1} f(t)\, dt - \frac{1}{2}(f(x+n+1) - f(x)) \\ + \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} (f^{(2k-1)}(x+n+1) - f^{(2k-1)}(x)) + T_p(x, n) \end{aligned} \right.

On a en effet (VI, p. 14, formule (41))

T_p(x, n) = -\frac{1}{(2p+1)!} \int_0^{n+1} \overline{B}_{2p+1}(1-s) f^{(2p+1)}(x+s)\, ds

où $\overline{B}_{2p+1}(t)$ est la fonction périodique de période 1 égale à $B_{2p+1}(t)$ dans l’intervalle $[0, 1[$ . La formule (16) de VI, p. 19, montre que

|\overline{B}_{2p+1}(t)| \leq 4e^{2\pi} \frac{(2p+1)!}{(2\pi)^{2p+1}}

pour tout $t \in \mathbf{R}$ , et l’application de la formule de la moyenne donne pour $T_p(x, n)$ la majoration

|T_p(x, n)| \leq \frac{4e^{2\pi}}{(2\pi)^{2p+1}} \int_x^{x+n+1} |f^{(2p+1)}(t)|\, dt.

2. Application aux développements asymptotiques

La formule d’Euler–Maclaurin permet de donner une solution plus complète (dans les cas les plus importants) au problème traité dans V, p. 28 à 32, consistant à obtenir un développement asymptotique de la somme partielle $s_n = \sum_{m=0}^n g(m)$ (resp. du reste $r_n = \sum_{m=n+1}^\infty g(m)$ ), où $g$ est une fonction numérique $> 0$ et monotone définie dans un intervalle $[x_0, +\infty[$ . Nous allons nous borner au cas où $g$ est une fonction (H) (V, p. 41), d’ordre 0 par rapport à $e^x$ ; autrement dit, on a la relation $g' \ll g$ ; de cette relation, on déduit $g^{(k+1)} \ll g^{(k)}$ pour tout entier $k > 0$ tel qu’aucune des dérivées $g^{(h)}$ d’ordre $h \leq k$ ne soit équivalente à une constante

(V, p. 22, prop. 7). Soit $p$ un entier tel qu’aucune des dérivées $g^{(h)}$ d’ordre $h \leq 2p$ ne soit équivalente à une constante. Supposons d’abord que la série de terme général $g(n)$ ait une somme infinie, et distinguons plusieurs cas:

1° $|g^{(2p-1)}(n)|$ tend vers $+\infty$ avec $n$ ; il en est de même, en vertu de l’hypothèse, de $|g^{(2k-1)}(n)|$ pour $1 \leq k \leq p$ ; en outre comme $g^{(2p+1)}$ est monotone au voisinage de $+\infty$ , la formule (4) de VI, p. 20, donne $T_p(0, n) = O(g^{(2p)}(n + 1)) = o(g^{(2p-1)}(n + 1))$ ; la formule d’Euler-Maclaurin, appliquée pour $x = 0$ , montre que

s_n = \sum_{m=0}^n g(m) = \int_0^{n+1} g(t)\, dt - \frac{1}{2}g(n+1)

+ \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} g^{(2k-1)}(n+1) + o(g^{(2p-1)}(n+1))

chacun des termes de cette somme étant négligeable devant le précédent; en développant chacun d’eux par rapport à une échelle de comparaison $\mathscr{E}$ , on aura donc un développement asymptotique de $s_n$ .

2° Supposons maintenant que pour un indice $q$ tel que $1 \leq q < p$ , $|g^{(2q-1)}(n)|$ tend vers $+\infty$ avec $n$ , mais que $g^{(2k-1)}(n)$ tende vers 0 pour $k > q$ . Comme $g^{(2p+1)}$ est monotone au voisinage de $+\infty$ , l’intégrale $\int_0^\infty |g^{(2p+1)}(u)| du$ est convergente, et on peut alors écrire

s_n = \sum_{m=0}^n g(m) = \int_0^{n+1} g(t)\, dt - \frac{1}{2}g(n+1) + \sum_{k=1}^q \frac{b_{2k}}{(2k)!} g^{(2k-1)}(n+1) + C

+ \sum_{k=q+1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} g^{(2k-1)}(n+1) + o(g^{(2p-1)}(n+1))

où $C$ est une constante: on a en effet

\int_{n+1}^\infty |g^{(2p+1)}(u)| du = O(g^{(2p)}(n+1)) = o(g^{(2p-1)}(n+1)).

La même formule est valable lorsque $g(n)$ elle-même tend vers 0. Enfin, lorsque la série de terme général $g(n)$ est convergente, on a, pour le reste

$r_n = \sum_{m=n+1}^\infty g(m)$ , le développement

r_n = \sum_{m=n+1}^\infty g(m) = \int_{n+1}^\infty g(t)\, dt + \frac{1}{2}g(n+1)

- \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} g^{(2k-1)}(n+1) + o(g^{(2p-1)}(n+1)).

Exercices

See the exercises for § 3.