Exercice 10, § 1

a) Soit E un espace complètement réticulé; il existe sur E une topologie $\mathscr{T}_0(E)$ qui est la plus fine des topologies $\mathscr{T}$ sur E pour lesquelles tout filtre borné $\mathfrak{F}$ sur E qui converge au sens de la structure d’ordre (exerc. 9) converge vers la même limite pour $\mathscr{T}$.

Soient E et F deux espaces complètement réticulés, $f$ une application de E dans F telle que, pour tout filtre borné $\mathfrak{F}$ sur E convergent pour la structure d’ordre, $f(\mathfrak{F})$ soit une base d’un filtre borné sur F qui converge pour la structure d’ordre vers $f(\lim \mathfrak{F})$. Montrer que, dans ces conditions, $f$ est continue pour les topologies $\mathscr{T}_0(E)$ et $\mathscr{T}_0(F)$.

b) Déduire de a) que la topologie $\mathscr{T}_0(E)$ est compatible avec la structure d’espace vectoriel de E et que l’application $x \mapsto |x|$ est continue pour cette topologie. Prouver que $\mathscr{T}_0(E)$ est compatible avec la structure d’espace vectoriel ordonné de E et en déduire que cette topologie est séparée.

c) Etant donné un ensemble infini quelconque A, soit $E = \mathscr{B}(A)$ l’espace complètement réticulé des fonctions numériques bornées dans A. Soit $\Phi$ l’ensemble des fonctions numériques $\varphi$ (finies ou non) définies dans A, telles que $\varphi(t) > 0$ pour tout $t \in A$ et que, pour tout entier $n > 0$, l’ensemble des $t \in A$ tels que $\varphi(t) \leq n$ soit fini. Pour toute fonction $\varphi \in \Phi$, soit $V_\varphi$ l’ensemble des $x \in E$ tels que $|x| \leq \varphi$; montrer que les ensembles $V_\varphi$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie $\mathscr{T}_1(E)$ compatible avec la structure d’espace vectoriel ordonné de E, et pour laquelle E est séparé et complet. Montrer que la topologie $\mathscr{T}_0(E)$ est plus fine que $\mathscr{T}_1(E)$, mais strictement moins fine que la topologie de la convergence uniforme dans A (définie par la norme $\|x\| = \sup_{t \in A} |x(t)|$) (considérer les éléments $1 - \varphi_X$ de $\mathscr{B}(A)$, où X parcourt l’ensemble des parties finies de A, $\varphi_X$ étant la fonction caractéristique de X). En déduire que, pour qu’une partie de E soit bornée (pour la structure d’ordre), il faut et il suffit qu’elle soit bornée pour la topologie $\mathscr{T}_0(E)$ (Esp. vect. top., chap. III, § 2). Montrer que tout filtre sur E, borné et convergent pour la topologie $\mathscr{T}_0(E)$, est convergent vers la même limite pour la structure d’ordre. Montrer enfin qu’il existe des filtres sur E qui sont convergents pour $\mathscr{T}_0(E)$ et non bornés.