Bài tập 10, § 1

(a) Cho E là một không gian dàn có thứ tự đầy đủ; tồn tại một tôpô $\mathscr{T}_0(E)$ trên E là tôpô mịn nhất trong các tôpô $\mathscr{T}$ trên E sao cho mọi lọc bị chặn $\mathscr{F}$ trên E hội tụ theo nghĩa của cấu trúc cấp (Bài tập 9) đều hội tụ đến cùng một giới hạn đối với $\mathscr{T}$.

Cho E và F là hai không gian dàn có thứ tự đầy đủ, $f$ là một ánh xạ từ E vào F sao cho, với mọi lọc bị chặn $\mathfrak{F}$ trên E hội tụ đối với cấu trúc cấp, $f(\mathfrak{F})$ là một cơ sở của một lọc bị chặn trên F hội tụ đến $f(\lim \mathfrak{F})$ đối với cấu trúc cấp. Chứng minh rằng, dưới các điều kiện này, $f$ là liên tục đối với các tôpô $\mathscr{T}_0(E)$ và $\mathscr{T}_0(F)$.

(b) Suy ra từ a) rằng tôpô $\mathscr{T}_0(E)$ tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E và ánh xạ $x \mapsto |x|$ là liên tục đối với tôpô này. Chứng minh rằng $\mathscr{T}_0(E)$ tương thích với cấu trúc không gian vectơ có thứ tự của E và từ đó suy ra rằng tôpô này là Hausdorff.

(c) Cho một tập vô hạn A bất kỳ, đặt $E = \mathscr{B}(A)$ là không gian dàn có thứ tự đầy đủ của các hàm giá trị thực bị chặn trên A. Gọi $\Phi$ là tập hợp các hàm số $\varphi$ (hữu hạn hoặc không) xác định trên A sao cho $\varphi(t) > 0$ với mọi $t \in A$ và sao cho, với mọi số nguyên $n > 0$, tập hợp các $t \in A$ sao cho $\varphi(t) \leq n$ là hữu hạn. Với mọi hàm $\varphi \in \Phi$, gọi $V_\varphi$ là tập hợp các $x \in E$ sao cho $|x| \leq \varphi$; chứng minh rằng các tập hợp $V_\varphi$ tạo thành một hệ lân cận cơ bản của 0 cho một tôpô $\mathscr{T}_1(E)$ tương thích với cấu trúc không gian vectơ có thứ tự của E, và đối với tôpô này E là Hausdorff và đầy đủ. Chứng minh rằng tôpô $\mathscr{T}_0(E)$ mịn hơn tôpô $\mathscr{T}_1(E)$, nhưng thực sự thô hơn tôpô hội tụ đều trong A (được định nghĩa bởi chuẩn $\|x\| = \sup_{t \in A} |x(t)|$) (xét các phần tử $1 - \varphi_X$ của $\mathscr{B}(A)$, trong đó X chạy trên tập hợp các tập con hữu hạn của A, $\varphi_X$ là hàm đặc trưng của X). Suy ra từ đó rằng để một tập con của E bị chặn (đối với cấu trúc cấp), điều kiện cần và đủ là nó bị chặn đối với tôpô $\mathscr{T}_0(E)$ (TVS, III, §1, No. 2). Chứng minh rằng mọi lọc trên E bị chặn và hội tụ đối với tôpô $\mathscr{T}_0(E)$ đều hội tụ đến cùng một giới hạn đối với cấu trúc cấp. Cuối cùng, chứng minh rằng tồn tại các lọc trên E hội tụ đối với $\mathscr{T}_0(E)$ nhưng không bị chặn.