Exercice 14, § 1

Soit E un espace de Riesz, muni d’une topologie séparée compatible avec la structure d’espace vectoriel ordonné de E.

a) Soient K une partie compacte de E, H une partie de K filtrante pour la relation $\leq$; montrer que le filtre $\mathscr{F}$ des sections de H est convergent. (Prouver d’abord que l’ensemble L des majorants de H appartenant à K est non vide et compact, puis que l’ensemble des valeurs d’adhérence de $\mathscr{F}$ est contenu dans L, et enfin qu’il ne peut exister deux valeurs d’adhérence distinctes).

b) Déduire de a) que si, dans E, tout intervalle $[a, b]$ est compact, E est complètement réticulé.