Bài tập 14, § 1

Cho E là một không gian Riesz, được trang bị một tôpô tách tương thích với cấu trúc của không gian vectơ có thứ tự của E.

(a) Cho K là một tập con compact của E, H là một tập con của K lọc đối với quan hệ $\leq$; bây giờ chứng minh rằng lọc $\mathscr{F}$ của các phần của H là hội tụ. (Trước hết chứng minh rằng tập L các cận trên của H thuộc K là khác rỗng và compact, sau đó rằng tập các giá trị dính của $\mathscr{F}$ được chứa trong L, và cuối cùng rằng không thể tồn tại hai giá trị dính phân biệt).

(b) Suy ra từ (a) rằng nếu, trong E, mọi khoảng $[a, b]$ là compact, thì E là một không gian lưới hoàn toàn.