Exercice 4, § 1

Soient E un espace de Riesz, H un sous-espace vectoriel de E. On dit que H est un sous-espace isolé de E si les relations $x \in H$, $|y| \leq |x|$ entraînent $y \in H$. Soit alors P l’ensemble des éléments $\dot{x}$ de l’espace quotient $E/H$ tels qu’il existe au moins un élément $x \geq 0$ dans la classe $\dot{x}$. Montrer que P est l’ensemble des éléments $\geq 0$ pour une structure d’ordre sur $E/H$, compatible avec la structure d’espace vectoriel de $E/H$, et pour laquelle $E/H$ est un espace de Riesz (cf. Alg., chap. VI, § 1, exerc. 4).