Exercice 5, § 1

a) On dit qu’un espace vectoriel ordonné E est archimédien si tout $x \in E$ tel que l’ensemble des $nx$ ($n$ entier $\geq 0$) soit majoré, est nécessairement $\leq 0$ (Alg., chap. VI, § 1, exerc. 31). Montrer que cette condition équivaut à la suivante : l’intersection d’un plan quelconque passant par 0 et du cône convexe P des éléments $\geq 0$ de E est un secteur angulaire fermé. Montrer que pour qu’un espace vectoriel ordonné soit archimédien, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe à un sous-espace d’un espace complètement réticulé (cf. Alg., chap. VI, § 1, exerc. 31).

b) Soit F l’espace de Riesz $\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$ des fonctions numériques définies dans $\mathbf{R}$, et soit H le sous-espace $\mathscr{B}(\mathbf{R})$ des fonctions bornées dans $\mathbf{R}$; H est un sous-espace isolé de F (exerc. 4). Montrer que l’espace de Riesz $E = F/H$ (exerc. 4) n’est pas archimédien : de façon précise, pour tout élément $x \geq 0$ de E, montrer qu’il existe $y \in E$ tel que $y \geq nx$ pour tout entier $n \geq 0$.