Bài tập 5, § 1

a) Một không gian vectơ có thứ tự E được gọi là Archimede nếu mọi $x \in E$ sao cho tập hợp các $nx$ ($n$ là một số nguyên $\geq 0$) bị chặn trên, nhất thiết phải $\leq 0$ (A, VI, §1, Exer. 31). Chứng minh rằng điều kiện này tương đương với điều sau: giao của bất kỳ mặt phẳng nào đi qua 0 với nón lồi P của các phần tử $\geq 0$ của E là một quạt góc đóng. Chứng minh rằng để một không gian vectơ có thứ tự là Archimede, điều kiện cần và đủ là nó đẳng cấu với một không gian con của một không gian có thứ tự hoàn toàn theo dàn (cf. A, VI, §1, Exer. 31).

b) Cho F là không gian Riesz $\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$ của các hàm thực xác định trên $\mathbf{R}$ và cho H là không gian con $\mathscr{B}(\mathbf{R})$ của các hàm bị chặn trên $\mathbf{R}$; H là một không gian con cô lập của F (Exer. 4). Chứng minh rằng không gian Riesz $E = F/H$ (Exer. 4) không phải là Archimede: chính xác hơn, chứng minh rằng với mọi phần tử $x \geq 0$ của E, tồn tại một $y \in E$ sao cho $y \geq nx$ với mọi số nguyên $n \geq 0$.