Exercice 3, § 2

Soit E un espace complètement réticulé.

a) Montrer que toute forme linéaire $L$ sur E, continue pour la topologie $\mathscr{T}_0(E)$ (§ 1, exerc. 10) est relativement bornée et que $|L|$ est continue pour $\mathscr{T}_0(E)$ (raisonner par l’absurde, en remarquant que pour tout $x \in E$ la suite des éléments $x/n$ tend vers 0 lorsque $n$ croît indéfiniment, pour la topologie $\mathscr{T}_0(E)$).

b) Soit A un ensemble infini quelconque, $U$ un ultrafiltre sur A dont les ensembles ont une intersection vide. Sur l’espace complètement réticulé $E = \mathscr{B}(A)$, on considère la forme linéaire positive $x \mapsto \lim_U x(t)$; montrer que cette forme linéaire n’est pas continue pour la topologie $\mathscr{T}_0(E)$.