Bài tập 3, § 2

Cho E là một không gian có thứ tự dàn đầy đủ.

a) Chứng minh rằng mọi dạng tuyến tính $L$ trên E liên tục đối với tôpô $\mathscr{T}_0(E)$ (§1, Exer. 10) đều bị chặn tương đối, và $|L|$ liên tục đối với $\mathscr{T}_0(E)$ (lập luận bằng phản chứng, nhận thấy rằng với mọi $x \in E$ dãy các phần tử $x/n$ tiến tới 0 khi n tiến tới vô hạn, đối với tôpô $\mathscr{T}_0(E)$).

b) Cho A là một tập vô hạn, $\mathscr{U}$ là một siêu lọc trên A mà các tập hợp của nó có giao rỗng. Trên không gian có thứ tự dàn đầy đủ $E = \mathscr{B}(A)$, xét dạng tuyến tính dương $x \mapsto \lim_{\mathscr{U}} x(t)$; chứng minh rằng dạng tuyến tính này không liên tục đối với tôpô $\mathscr{T}_0(E)$.