Exercice 5, § 2

a) Soient $E$ un espace de Riesz, $H$ un sous-espace vectoriel isolé de $E$ ($§ 1$, exerc. 4). Soit $\Omega$ l’espace des formes linéaires relativement bornées sur $E$, et soit $\Theta$ le sous-espace de $\Omega$ constitué par les formes linéaires $L \in \Omega$ qui s’annulent dans $H$. Montrer que $\Theta$ est un sous-espace isolé de $\Omega$ et que $\Theta$ est un espace complètement réticulé isomorphe à l’espace des formes linéaires relativement bornées sur l’espace de Riesz $E/H$.

b) Pour une application linéaire $u$ de $E$ dans un espace de Riesz $F$, les conditions suivantes sont équivalentes : $\alpha) \ u(\sup(x, y)) = \sup(u(x), u(y)); \quad \beta) \ u(\inf(x, y)) = \inf(u(x), u(y));$ $\gamma) \ u(x^+) = (u(x))^+; \delta)$ la relation $\inf(x, y) = 0$ entraîne $\inf(u(x), u(y)) = 0$. On dit alors que $u$ est une application linéaire réticulante.

c) Pour qu’un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ soit maximal dans l’ensemble des sous-espaces isolés $\neq E$, il faut et il suffit qu’il soit de la forme $\mathrm{Ker}(f)$, où $f$ est une forme linéaire réticulante $\neq 0$. (Utiliser Top. gén., chap. V, § 3, exerc. 1).

d) Donner un exemple d’espace de Riesz non réduit à 0 et ne contenant aucun sous-espace isolé maximal (cf. § 1, exerc. 5 b)).