Bài tập 5, § 2

a) Cho E là một không gian Riesz, H là một không gian con tuyến tính cô lập của E ($§ 1$, Exer. 4). Gọi $\Omega$ là không gian các dạng tuyến tính bị chặn tương đối trên E và gọi $\Theta$ là không gian con của $\Omega$ gồm các dạng tuyến tính $L \in \Omega$ bằng không trên H. Chứng minh rằng $\Theta$ là một không gian con cô lập của $\Omega$ và rằng $\Theta$ là một không gian có thứ tự dàn đầy đủ đẳng cấu với không gian các dạng tuyến tính bị chặn tương đối trên không gian Riesz E/H.

b) Đối với một ánh xạ tuyến tính $u$ từ E vào một không gian Riesz F, các điều kiện sau là tương đương:

$\alpha ) \ u(\sup(x, y)) = \sup(u(x), u(y));$ $\beta ) \ u(\inf(x, y)) = \inf(u(x), u(y));$ $\gamma ) \ u(x^+) = (u(x))^+;$ $\delta )$ quan hệ $\inf(x, y) = 0$ kéo theo $\inf(u(x), u(y)) = 0$.

Khi đó người ta nói rằng $u$ là một ánh xạ tuyến tính dàn.

c) Để một không gian con tuyến tính H của E là cực đại trong tập hợp các không gian con cô lập $\neq E$, điều kiện cần và đủ là nó có dạng $\mathrm{Ker}(f)$, trong đó $f$ là một dạng tuyến tính dàn $\neq 0$. (Sử dụng GT, V, $§ 3$, Exer. 1.)

d) Cho một ví dụ về một không gian Riesz không rút gọn về 0 chứa không có không gian con cô lập cực đại (xem $§ 1$, Exer. 5 b)).