Exercice 6, § 2

Soient $E$ un espace de Riesz, $\Omega$ l’espace complètement réticulé des formes linéaires relativement bornées sur $E$, $F$ un sous-espace coréticulé de $\Omega$ ($§ 1$, exerc. 3). Pour tout $x \in E$, l’application $x' \mapsto \langle x, x' \rangle$ de $F$ dans $\mathbf{R}$ est une forme linéaire relativement bornée $u_x$ sur $F$, et l’application $x \mapsto u_x$ est une application linéaire croissante de $E$ dans l’espace complètement réticulé $\Omega'$ des formes linéaires relativement bornées sur $F$. Pour que $x \mapsto u_x$ soit un isomorphisme de $E$ sur un sous-espace coréticulé de $\Omega'$, c’est-à-dire que $u_x > 0$ entraîne $x > 0$, et qu’on ait $u_{\sup(x, y)} = \sup(u_x, u_y)$, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient vérifiées : 1° pour tout $x > 0$ dans $E$, il existe $x' > 0$ dans $F$ tel que $\langle x, x' \rangle > 0$; 2° pour tout couple d’éléments étrangers $y \geq 0, z \geq 0$ de $E$, pour tout nombre $\varepsilon > 0$ et pour tout $x' \geq 0$ dans $F$, il existe deux éléments $y' \geq 0, z' \geq 0$ de $F$ tels que $x' = y' + z'$ et $\langle y, y' \rangle + \langle z, z' \rangle \leq \varepsilon$. (Remarquer que si cette seconde condition est vérifiée et si $v$ est une forme linéaire positive sur $F$ telle que $v \geq u_x$, pour tout $x' \geq 0$ dans $F$ et tout $\varepsilon > 0$, on a $v(x') \geq \langle x^+, x' \rangle - \varepsilon$).

Si la condition 2° est remplie, mais non la condition 1°, l’ensemble des $x \in E$ tels que $\langle x, x' \rangle = 0$ pour tout $x' \in F$ est un sous-espace vectoriel isolé H de E. Par passage au quotient, l’application $x \mapsto u_x$ définit alors un isomorphisme de l’espace de Riesz E/H sur un sous-espace coréticulé de $\Omega'$.

Lorsqu’on prend F = Ω, montrer que la condition 2° ci-dessus est toujours vérifiée (utiliser l’exerc. 2).