Bài tập 6, § 2

Cho E là một không gian Riesz, $\Omega$ là không gian có thứ tự dàn đầy đủ của các dạng tuyến tính bị chặn tương đối trên E, và F là một không gian con đối dàn của $\Omega$ ($§ 1$, Bài tập 3). Với mọi $x \in E$, ánh xạ $x' \mapsto \langle x, x' \rangle$ của F vào $\mathbf{R}$ là một dạng tuyến tính bị chặn tương đối $u_x$ trên F, và ánh xạ $x \mapsto u_x$ là một ánh xạ tuyến tính tăng của E vào không gian có thứ tự dàn đầy đủ $\Omega'$ của các dạng tuyến tính bị chặn tương đối trên F. Để $x \mapsto u_x$ là một đẳng cấu của E lên một không gian con đối dàn của $\Omega'$, nghĩa là, để $u_x > 0$ kéo theo $x > 0$, và để $u_{\sup(x, y)} = \sup(u_x, u_y)$, điều kiện cần và đủ là hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1° với mọi $x > 0$ trong E, tồn tại một $x' > 0$ trong F sao cho $\langle x, x' \rangle > 0$; 2° với mọi cặp phần tử rời nhau $y \geq 0, z \geq 0$ của E, với mọi số $\varepsilon > 0$ và với mọi $x' \geq 0$ trong F, tồn tại hai phần tử $y' \geq 0, z' \geq 0$ của F sao cho $x' = y' + z'$ và $\langle y, y' \rangle + \langle z, z' \rangle \leq \varepsilon$. (Nhận xét rằng nếu điều kiện thứ hai được thỏa mãn và nếu $v$ là một dạng tuyến tính dương trên F sao cho $v \geq u_x$, thì $v(x') \geq \langle x^+, x' \rangle - \varepsilon$ với mọi $x' \geq 0$ trong F và mọi $\varepsilon > 0$.)

Nếu điều kiện 2° được thỏa mãn nhưng không phải điều kiện 1°, thì tập hợp các $x \in E$ sao cho $\langle x, x' \rangle = 0$ với mọi $x' \in F$ là một không gian con tuyến tính cô lập H của E. Qua phép chuyển sang thương, ánh xạ $x \mapsto u_x$ khi đó xác định một đẳng cấu của không gian Riesz E/H lên một không gian con đối dàn của $\Omega'$.

Chứng minh rằng khi $F = \Omega$, điều kiện 2° ở trên luôn được thỏa mãn (sử dụng Bài tập 2).