Exercice 7, § 2

Soit E un espace de Riesz de dimension finie n.

a) Si E est archimédien (§ 1, exerc. 5), montrer que le cône P des éléments $\geqslant 0$ de E est fermé et a un point intérieur. En déduire que l’intersection des hyperplans d’appui de P se réduit à 0 (utiliser le fait que $P \cap (-P) = \{0\}$).

b) En utilisant a) et l’exerc. 6, montrer que tout espace de Riesz archimédien de dimension n est isomorphe à l’espace produit $\mathbf{R}^n$ (cf. § 1, exerc. 13 e)).

c) Donner un exemple d’espace de Riesz totalement ordonné de dimension 2.