Bài tập 7, § 2

Cho E là một không gian Riesz có số chiều hữu hạn $n$.

a) Nếu E là Archimedean ($§ 1$, Exer. 5), hãy chứng minh rằng nón P của các phần tử $\geq 0$ của E là đóng và có một điểm trong. Từ đó, suy ra rằng giao của các siêu phẳng tựa của P thu gọn thành 0 (sử dụng sự kiện rằng $P \cap (-P) = \{0\}$).

b) Sử dụng a) và Exer. 6, hãy chứng minh rằng mọi không gian Riesz Archimedean có chiều $n$ đều đẳng cấu với không gian tích $\mathbf{R}^n$ (cf. $§ 1$, Exer. 13 e)).

c) Hãy cho một ví dụ về một không gian Riesz có thứ tự toàn phần có chiều 2.