Exercice 1, § 1

a) Soit X un espace localement compact. Montrer que toute partie compacte et convexe A de l’espace localement convexe $\mathscr{K}(X ; \mathbf{C})$, contenue dans $\mathscr{K}_+(X)$, est strictement compacte. (Considérer la fonction enveloppe supérieure de l’ensemble des $f \in A$, $s = \sup_{f \in A} f$, qui est continue dans X et tend vers 0 au point à l’infini de X. Pour toute fonction numérique continue g dans X, on note P(g) l’ensemble des $x \in X$ tels que $g(x) > 0$. Montrer qu’il existe dans A une fonction f telle que $P(f) = P(s)$; on notera pour cela que si $K_n$ est l’ensemble compact des $x \in X$ tels que $s(x) \geq 1/n$, il y a un nombre fini de fonctions $f_{n,i} \in A$ telles que les ensembles ouverts $P(f_{n,i})$ recouvrent $K_n$. Utiliser ensuite le fait que $A$ est convexe et fermé).

b) On suppose qu’il existe dans $X$ un ensemble dénombrable partout dense $D$. Montrer que toute partie convexe compacte $A$ de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ est alors strictement compacte. (Soit $U$ l’ensemble des $x \in X$ tels qu’il existe $f \in A$ pour lequel $f(x) \neq 0$, qui est une partie ouverte de $X$. Montrer, en utilisant le fait que $A$ est un espace de Baire, qu’il existe une fonction $g \in A$ telle que $g(x) \neq 0$ pour tout $x \in U \cap D$).