Bài tập 1, § 1

(a) Cho X là một không gian địa phương compact. Chứng minh rằng mọi tập con lồi compact A của không gian lồi địa phương $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ được chứa trong $\mathscr{K}_+(X)$ đều là compact nghiêm ngặt. (Xét hàm bao trên của tập hợp tất cả các $f \in A,\ s = \sup_{f \in A} f$, hàm này liên tục trên X và tiến về 0 tại điểm vô hạn của X. Với mọi hàm số liên tục g trên X, ký hiệu P(g) là tập hợp các $x \in X$ sao cho $g(x) > 0$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm f trong A sao cho $P(f) = P(s)$; về điều này, nhận xét rằng nếu $K_n$ là tập compact các $x \in X$ sao cho $s(x) \geq 1/n$, thì tồn tại một số hữu hạn các hàm $f_{n,i} \in A$ sao cho các tập mở $P(f_{n,i})$ phủ $K_n$. Sau đó sử dụng sự kiện rằng A là lồi và đóng.)

(b) Giả sử rằng tồn tại trong X một tập con trù mật đếm được D. Chứng minh rằng mọi tập con lồi compact A của $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ khi đó đều là compact nghiêm ngặt. (Gọi U là tập hợp các $x \in X$ sao cho tồn tại một $f \in A$ mà $f(x) \neq 0$, đây là một tập mở trong X. Chứng minh, sử dụng sự kiện rằng A là một không gian Baire, rằng tồn tại một hàm $g \in A$ sao cho $g(x) \neq 0$ với mọi $x \in U \cap D$.)