Exercice 12, § 1

a) Montrer que l’application bilinéaire $(g, \mu) \mapsto g.\mu$ de $C(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ est continue lorsqu’on munit $C(X; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence compacte et $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ de la topologie quasi-forte (exerc. 8) ou de la topologie de la convergence strictement compacte.

b) Montrer que l’application bilinéaire $(g, \mu) \mapsto g.\mu$ de

dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ est $(\mathfrak{S}, \mathfrak{T})$-hypocontinue lorsqu’on munit $C(X; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence compacte et $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ de la topologie vague, $\mathfrak{S}$ désignant l’ensemble des parties finies de $C(X; \mathbf{C})$ et $\mathfrak{T}$ l’ensemble des parties vaguement bornées de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$.

c) Montrer que l’application $(g, \mu) \mapsto g.\mu$ de $C(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}_+(X)$ dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ est continue lorsqu’on munit $C(X; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence compacte, $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ et $\mathscr{M}_+(X)$ de la topologie vague.

d) Donner un exemple d’espace compact X tel que l’application bilinéaire $(g, \mu) \mapsto g.\mu$ de $C(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ ne soit pas continue lorsqu’on munit $C(X; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence uniforme et $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ de la topologie vague.