Bài tập 12, § 1

.

b) Với mọi tập con compact $K$ của $X$, hãy chứng minh rằng dạng song tuyến tính $(f, \mu) \mapsto \langle f, \mu \rangle$ là liên tục trên $\mathscr{H}(X, K; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ khi $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô giả mạnh; nó là liên tục trên $\mathscr{H}(X, K; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}_+(X)$ khi $\mathscr{M}_+(X)$ được trang bị tôpô yếu (sử dụng Bài tập 10).

c) Giả sử rằng $X$ là paracompact và không compact. Hãy chứng minh rằng dạng song tuyến tính $(f, \mu) \mapsto \langle f, \mu \rangle$ không liên tục trên $\mathscr{H}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}_+(X)$ khi $\mathscr{M}_+(X)$ được trang bị tôpô mạnh (trong trường hợp này trùng với tôpô giả mạnh).

d) Cho một ví dụ trong đó $X$ là compact và dạng song tuyến tính $(f, \mu) \mapsto \langle f, \mu \rangle$ không liên tục trên $\mathscr{C}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ khi $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô hội tụ compact (TVS, IV, §1, Bài tập 11).

¶ 12) a) Hãy chứng minh rằng ánh xạ song tuyến tính $(g, \mu) \mapsto g \cdot \mu$ từ $\mathscr{C}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ vào $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ là liên tục khi $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô hội tụ compact và $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ với tôpô giả mạnh (Bài tập 8) hoặc với tôpô hội tụ compact nghiêm ngặt.

b) Hãy chứng minh rằng ánh xạ song tuyến tính $(g, \mu) \mapsto g \cdot \mu$ từ $\mathscr{C}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ vào $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ là $(\mathscr{S}, \mathscr{T})$-nửa liên tục khi $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô hội tụ compact và $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ với tôpô yếu, trong đó $\mathscr{S}$ là tập hợp các tập con hữu hạn của $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ và $\mathscr{T}$ là tập hợp các tập con bị chặn yếu của $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$.

c) Hãy chứng minh rằng ánh xạ $(g, \mu) \mapsto g \cdot \mu$ từ $\mathscr{C}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}_+(X)$ vào $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ là liên tục khi $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô hội tụ compact, $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ và $\mathscr{M}_+(X)$ với tôpô yếu.

d) Cho một ví dụ về một không gian compact $X$ sao cho ánh xạ song tuyến tính $(g, \mu) \mapsto g \cdot \mu$ từ $\mathscr{C}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ vào $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ không liên tục khi $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô hội tụ đều và $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ với tôpô yếu.