Exercice 15, § 1

Soit X un espace localement compact non compact ; sur l’espace $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$ des mesures bornées sur $X$, dual de l’espace de Banach $C^0(X; \mathbf{C})$, on appelle topologie ultraforte la topologie définie par la norme $\| \mu \|$, topologie faible la topologie $\sigma(\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C}), C^0(X; \mathbf{C}))$.

a) Montrer que si $X$ est paracompact, la topologie faible sur $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$ est strictement plus fine que la topologie vague (comparer à l’exerc. 2).

b) Montrer que sur $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$, la topologie ultraforte est strictement plus fine que la topologie quasi-forte (remarquer que pour cette dernière $\varepsilon_x$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers le point à l’infini de $X$).

c) Si $X$ est dénombrable à l’infini et non discret, montrer que sur $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$, la topologie faible et la topologie quasi-forte ne sont pas comparables.

d) Dans $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$, tout ensemble faiblement borné est borné pour la topologie ultraforte, mais il peut exister des ensembles bornés pour la topologie quasi-forte et non faiblement bornés.