Bài tập 15, § 1

Cho $X$ là một không gian compact địa phương không compact; trên không gian $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$ các độ đo bị chặn trên $X$, đối ngẫu của không gian Banach $\mathscr{C}^0(X; \mathbf{C})$, tôpô được xác định bởi chuẩn $\|\mu\|$ được gọi là tôpô siêu mạnh, và tôpô $\sigma(\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C}), \mathscr{C}^0(X; \mathbf{C}))$ là tôpô yếu.

a) Chứng minh rằng nếu $X$ là paracompact, thì tôpô yếu trên $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$ mịn hơn nghiêm ngặt tôpô thô (so sánh với Bài tập 2).

b) Chứng minh rằng trên $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$, tôpô siêu mạnh mịn hơn nghiêm ngặt tôpô gần mạnh (nhận xét rằng đối với tôpô sau, $\varepsilon_x$ tiến tới $0$ khi $x$ tiến tới điểm ở vô tận của $X$).

c) Nếu $X$ đếm được tại vô tận và không rời rạc, chứng minh rằng trên $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$ tôpô yếu và tôpô gần mạnh không so sánh được.

d) Trong $\mathscr{M}^1(X; \mathbf{C})$, mọi tập hợp bị chặn yếu đều bị chặn đối với tôpô siêu mạnh, nhưng có thể tồn tại các tập hợp bị chặn đối với tôpô gần mạnh nhưng không bị chặn yếu.