Exercice 18, § 1

Soient $X$ un espace compact, $\mu$ une mesure sur $X$ telle que $\mu(1) = \| \mu \|$. Montrer que $\mu$ est une mesure positive. (Si $\mu_1 = \Re(\mu)$, $\mu_2 = \Im(\mu)$, noter d’abord que $\mu_1(1) = \| \mu_1 \|$ et montrer que $\mu_1$ est une mesure positive en utilisant le chap. II, § 2, n° 2, prop. 4; prouver ensuite que $\mu_2 = 0$ en considérant $\mu(1 + if)$ pour une fonction $f \in C(X; \mathbf{R})$ convenable).