Bài tập 18, § 1

Cho X là một không gian compact, $\mu$ là một độ đo trên X sao cho $\mu(1) = \| \mu \|$. Chứng minh rằng $\mu$ là một độ đo dương. (Nếu $\mu_1 = \mathscr{R}(\mu)$, $\mu_2 = \mathscr{I}(\mu)$, trước hết chú ý rằng $\mu_1(1) = \| \mu_1 \|$ và chứng minh rằng $\mu_1$ là một độ đo dương bằng cách sử dụng Chương II, §2, No. 2, Mệnh đề 4; sau đó chứng minh rằng $\mu_2 = 0$ bằng cách xét $\mu(1 + if)$ với một hàm thích hợp $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$.)