Exercice 4, § 1

a) Soit $B_n$ la boule unité fermée dans l’espace euclidien $\mathbf{R}^n$, et soit $A_n$ l’ensemble des fonctions $f \in \mathscr{C}(B_n; \mathbf{R})$ de la forme

avec $|\lambda| \leq 1/n$ et $\|a\| \leq 1/n$. L’ensemble $A_n$ est convexe et compact dans l’espace de Banach $\mathscr{C}(B_n; \mathbf{R})$, et possède la propriété suivante : quelles que soient les fonctions $f_1, \ldots, f_n$ appartenant à $A_n$, il existe un point $x \in B_n$ tel que $f_1(x) = \ldots = f_n(x) = 0$; par contre, il existe $n+1$ fonctions $g_1, \ldots, g_{n+1}$ appartenant à $A_n$ et qui ne s’annulent simultanément en aucun point de $B_n$ (on pourra considérer l’application $x \mapsto x/(1 - \|x\|^2)$ de $\dot{B}_n$ dans $\mathbf{R}^n$).

b) Soit $B'_n$ l’ensemble $B_n$ muni de la topologie discrète, et posons $D_n = \beta B'_n$. Soit $Y$ (resp. $Y'$) l’espace localement compact somme topologique des espaces $D_n$ (resp. $B'_n$). Montrer que $\beta Y = \beta Y'$.

c) Pour tout entier $n$, soit $K_n \subset \mathscr{C}(D_n; \mathbf{R})$ l’ensemble des fonctions numériques dont la restriction à $B'_n = B_n$ appartienne à $A_n$. Soit $K$ la partie de $\mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$ formée des fonctions dont la restriction à $D_n$ appartienne à $K_n$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. Montrer que $K$ est une partie compacte et convexe de l’espace de Banach $\mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$. Pour toute famille finie $(f_i)_{1 \leq i \leq n}$ de fonctions de $K$, soit $W(f_1, \ldots, f_n)$ l’ensemble des $y \in Y'$ tels que $f_i(y) = 0$ pour $1 \leq i \leq n$. Montrer que les $W(f_1, \ldots, f_n)$ forment une base d’un filtre $\mathfrak{W}$ sur l’espace discret $Y'$. En conclure qu’il existe un point $\omega \in \beta Y - Y$ tel que la trace sur $Y'$ du filtre des voisinages de $\omega$ dans $\beta Y$ soit un filtre plus fin que $\mathfrak{W}$. Si l’on pose $X = \beta Y - \{\omega\}$, en déduire que $K \subset \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ et, à l’aide de l’exercice 2, conclure que dans $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ l’ensemble $K$ est convexe, compact mais non strictement compact.