Bài tập 4, § 1

(a) Cho $B_n$ là quả cầu đơn vị đóng trong không gian Euclid $\mathbf{R}^n$, và cho $A_n$ là tập các hàm $f \in \mathscr{C}(B_n; \mathbf{R})$ có dạng

với $|\lambda| \leq 1/n$ và $\|a\| \leq 1/n$. Tập $A_n$ là lồi và compact trong không gian Banach $\mathscr{C}(B_n; \mathbf{R})$, và có tính chất sau: với mọi họ hữu hạn các hàm $f_1, \ldots, f_n$ thuộc $A_n$, tồn tại một điểm $x \in B_n$ sao cho $f_1(x) = \ldots = f_n(x) = 0$; tuy nhiên, tồn tại $n+1$ hàm $g_1, \ldots, g_{n+1}$ thuộc $A_n$ không đồng thời bằng không tại bất kỳ điểm nào của $B_n$ (có thể xét ánh xạ $x \mapsto x/(1-\|x\|^2)$ của $\overset{\circ}{B}_n$ vào $\mathbf{R}^n$).

(b) Cho $B'_n$ là tập $B_n$ được trang bị tôpô rời rạc, và cho $D_n = \beta B'_n$. Gọi Y (tương ứng, $Y'$) là không gian tổng tôpô địa phương compact của các không gian $D_n$ (tương ứng, $B'_n$). Chứng minh rằng $\beta Y = \beta Y'$.

(c) Với mỗi số nguyên $n$, cho $K_n \subset \mathscr{C}(D_n; \mathbf{R})$ là tập tất cả các hàm nhận giá trị thực mà hạn chế của chúng trên $B'_n = B_n$ thuộc $A_n$. Cho K là tập con của $\mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$ tạo bởi các hàm mà hạn chế của chúng trên $D_n$ thuộc $K_n$ với mọi $n \in \mathbf{N}$. Chứng minh rằng K là một tập compact lồi của không gian Banach $\mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$. Với mọi họ hữu hạn $(f_i)_{1 \leq i \leq n}$ các hàm trong K, gọi $W(f_1, \ldots, f_n)$ là tập các $y \in Y'$ sao cho $f_i(y) = 0$ với $1 \leq i \leq n$. Chứng minh rằng các $W(f_1, \ldots, f_n)$ tạo thành một cơ sở của một lọc $\mathfrak{W}$ trên không gian rời rạc $Y'$. Từ đó, kết luận rằng tồn tại một điểm $\omega \in \beta Y - Y$ sao cho vết trên $Y'$ của lọc các lân cận của $\omega$ trong $\beta Y$ là một lọc mịn hơn $\mathfrak{W}$. Đặt $X = \beta Y - \{ \omega \}$, suy ra từ đó rằng $K \subset \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ và, với sự trợ giúp của Bài tập 2, kết luận rằng trong $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ tập K là lồi và compact, nhưng không compact chặt.