Exercice 5, § 1

Montrer que si $E$ est un espace de Fréchet et $X$ un espace localement compact, l’espace $\mathscr{K}(X; E)$ est bornologique.

En déduire que pour tout ensemble $\mathfrak{S}$ de parties bornées de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, qui est un recouvrement de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ et est tel que tout ensemble formé des points d’une suite convergente dans $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ appartienne à $\mathfrak{S}$, l’espace $\mathscr{M}_{\mathfrak{S}}(X; \mathbf{C})$ est complet.