Exercice 8, § 1

Soit $X$ un espace localement compact ; pour toute partie compacte $K$ de $X$, et tout entier $n > 0$, soit $S_{K,n}$ l’ensemble des fonctions f \in \mathscr{H}(X; \mathbf{C}) de support contenu dans K et telles que \| f \| \leq n. On appelle topologie quasi-forte sur $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ la topologie de la convergence uniforme dans les ensembles $S_{K,n}$. Elle est moins fine que la topologie forte (lorsque $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ est considéré comme dual de l’espace $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$, cf. Esp. vect. top., chap. IV, § 3, n° 1) et lui est identique lorsque X est paracompact.

a) Montrer que la topologie quasi-forte sur $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ est définie par les semi-normes $\mu \mapsto |\mu|(f)$, où $f$ parcourt $\mathscr{H}_+(X)$; l’espace $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ est complet pour la topologie quasi-forte. Les parties bornées de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ pour la topologie quasi-forte sont les parties équicontinues de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$.

b) Montrer que sur $\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$, la topologie quasi-forte est compatible avec la structure d’espace vectoriel ordonné (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 2, n° 7). En déduire que si H est un ensemble filtrant croissant et majoré dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$, la borne supérieure de H dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$ est identique à la limite de son filtre des sections pour la topologie quasi-forte (loc. cit.).