Bài tập 8, § 1

Cho $X$ là một không gian compact địa phương; với mọi tập con compact $K$ của $X$ và mọi số nguyên $n > 0$, cho $S_{K,n}$ là tập hợp các hàm $f \in \mathscr{H}(X; \mathbf{C})$ có giá được chứa trong $K$ và sao cho $\|f\| \leq n$. Người ta gọi tôpô giả mạnh trên $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ là tôpô của sự hội tụ đều trên các tập hợp $S_{K,n}$. Nó thô hơn tôpô mạnh (khi $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ được xem như đối ngẫu của không gian $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$, cf. TVS, III, §3, No. 1) và trùng với nó khi $X$ là paracompact.

a) Chứng minh rằng tôpô giả mạnh trên $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ được xác định bởi các bán chuẩn $\mu \mapsto |\mu|(f)$, trong đó $f$ chạy trên $\mathscr{H}_+(X)$; không gian $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ là đầy đủ đối với tôpô giả mạnh. Các tập con bị chặn của $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ đối với tôpô giả mạnh là các tập con liên tục đều của $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$.

b) Chứng minh rằng trên $\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$, tôpô giả mạnh tương thích với cấu trúc không gian vectơ có thứ tự (TVS, II, §2, No. 7). Từ đó, suy ra rằng nếu $H$ là một tập có hướng tăng trong $\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$ bị chặn trên, thì cận trên đúng của $H$ trong $\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$ trùng với giới hạn, đối với tôpô giả mạnh, của lọc tiết diện của nó (loc. cit.).