Exercice 9, § 1

Soit X l’intervalle compact $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$.

a) Soit $\mu_n$ la mesure définie par la masse +1 au point 0 et la masse −1 au point $1/n$. Montrer que la suite $(\mu_n)$ tend vaguement vers 0 dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$, mais que $|\mu_n|$ ne tend pas vaguement vers 0.

b) Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur X, et soit $g_n(x) = \sin nx$. Montrer que la mesure $(1 - g_n).\mu$ est positive et tend vaguement vers $\mu$ lorsque $n$ croît indéfiniment, mais ne tend pas fortement vers $\mu$. En déduire que les topologies induites sur $\mathscr{M}_+(X)$ par la topologie vague et par la topologie forte (identique ici à la topologie quasi-forte) sont distinctes (cf. exerc. 10).