Bài tập 9, § 1

Cho $X$ là khoảng compact $[0,1]$ của $\mathbf{R}$.

a) Cho $\mu_n$ là độ đo được xác định bởi khối lượng +1 tại điểm 0 và khối lượng -1 tại điểm $1/n$. Chứng minh rằng dãy $(\mu_n)$ hội tụ mơ hồ về 0 trong $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$, nhưng $|\mu_n|$ không hội tụ mơ hồ về 0.

b) Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $X$ và cho $g_n(x) = \sin nx$. Chứng minh rằng độ đo $(1 - g_n) \cdot \mu$ là dương và hội tụ mơ hồ về $\mu$ khi $n$ tiến ra vô hạn, nhưng không hội tụ mạnh về $\mu$. Từ đó, suy ra rằng các tôpô cảm sinh trên $\mathscr{M}_+(X)$ bởi tôpô mơ hồ và tôpô mạnh (vốn ở đây đồng nhất với tôpô cận mạnh) là phân biệt (xem Bài tập.