Exercice 4, § 2

Soit A un ensemble non dénombrable. Dans l’ensemble $\mathfrak{P}(A)$, on considère la relation : « $M \cap \mathbf{C} N$ et $N \cap \mathbf{C} M$ sont dénombrables » entre $M$ et $N$; montrer que c’est une relation d’équivalence faiblement compatible avec la relation d’inclusion $M \subset M'$ (Ens., chap. III, 2e éd., § 1, exerc. 2). Soit B l’ensemble quotient de $\mathfrak{P}(A)$ par cette relation d’équivalence; montrer que sur B la relation déduite de la relation d’inclusion par passage aux quotients est une relation d’ordre pour laquelle B est un réseau booléien (loc. cit., exerc. 17). On sait (Top. gén., chap. II, 3e éd., § 4, exerc. 12) qu’il existe un isomorphisme de structure d’ordre de B sur le réseau booléien formé des parties à la fois ouvertes et fermées d’un espace compact totalement discontinu X. Montrer que si U est un ensemble ouvert non vide dans X, il existe une famille non dénombrable de parties ouvertes non vides $V_\alpha$ de U deux à deux sans point commun (utiliser le fait qu’un ensemble non dénombrable admet une partition non dénombrable, formée de parties non dénombrables). En déduire que toute mesure sur X a un support rare.