Bài tập 4, § 2

Cho A là một tập hợp không đếm được. Trong tập hợp $\mathfrak{P}(A)$, xét quan hệ « M$\cap \mathbf{C} N$ và $N \cap \mathbf{C} M$ là đếm được » giữa M và N; chứng minh rằng đây là một quan hệ tương đương, tương thích yếu với quan hệ bao hàm $M \subset M'$ (S, III, §1, Exer. 2). Gọi B là tập thương của $\mathfrak{P}(A)$ đối với quan hệ tương đương này; chứng minh rằng trên B, quan hệ suy ra từ quan hệ bao hàm bằng phép chuyển qua thương là một quan hệ thứ tự mà B là một đại số Boolean (loc. cit, Exer. 17). Ta biết (GT, II, §4, Exer. 12) rằng tồn tại một đẳng cấu cấu trúc thứ tự của B lên đại số Boolean tạo bởi các tập hợp vừa mở vừa đóng trong một không gian compact hoàn toàn rời rạc X. Chứng minh rằng nếu U là một tập hợp mở khác rỗng trong X, thì tồn tại một họ không đếm được các tập hợp mở khác rỗng $V_\alpha$ của U rời nhau từng đôi một (sử dụng sự kiện rằng một tập hợp không đếm được thừa nhận một phân hoạch không đếm được gồm các tập hợp không đếm được). Từ đó, suy ra rằng mọi độ đo trên X đều có giá không đâu trù mật.