Exercice 5, § 2

Soit X un espace compact. On dit qu’une suite infinie $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de points de X admet une répartition limite si la suite des mesures à support fini $\left( \sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon_{x_i} \right)/n$ tend vaguement vers une limite $\mu$ dans $\mathscr{M}_+(X)$; on dit encore que la suite $(x_n)$ est équirépartie pour la mesure $\mu$. Si T est un ensemble total dans l’espace de Banach $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$, montrer que pour que la suite $(x_n)$ admette une répartition limite, il faut et il suffit que la suite $\left( \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \right)/n \right)$ tende vers une limite dans $\mathbf{C}$ pour toute fonction $f \in T$. En particulier, montrer que si X est un espace compact métrisable, pour toute suite $(x_n)$ de points de X, il existe une suite extraite $(x_{n_k})$ qui admet une répartition limite.

Si X est l’intervalle $[0,1]$ de $\mathbf{R}$ et si $\mu$ est la mesure de Lebesgue sur X, montrer que pour qu’une suite $(x_n)$ de points de X soit équirépartie pour $\mu$, il faut et il suffit qu’elle soit équirépartie mod. 1 au sens de Top. gén., chap. VII, § 1, exerc. 14. Il faut et il suffit pour cela que, pour tout entier $m \in \mathbf{Z}$, la suite $\left( \left( \sum_{k=0}^{n-1} e^{2i\pi m x_k} \right)/n \right)$ tende vers 0 pour $m \neq 0$. En déduire à nouveau, en particulier, que la suite des $x_n = n\theta - [n\theta]$ ($n \in \mathbf{N}$) est équirépartie mod. 1 pour tout nombre irrationnel $\theta$ (Top. gén., chap. VII, § 1, exerc. 14). Quelle est sa répartition limite lorsque $\theta$ est rationnel? Cf. aussi chap. IV, § 5, n° 12.