Bài tập 5, § 2

Cho X là một không gian compact. Một dãy vô hạn $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các điểm của X được gọi là có một phân bố giới hạn nếu dãy các độ đo có giá hữu hạn $\left( \sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon_{x_i} \right)/n$ hội tụ mơ hồ đến một giới hạn $\mu$ trong $\mathscr{M}_+(X)$; người ta cũng nói rằng dãy $(x_n)$ được phân bố đều đối với độ đo $\mu$. Nếu T là một tập hợp toàn phần trong không gian Banach $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$, hãy chứng minh rằng để một dãy $(x_n)$ có một phân bố giới hạn, điều kiện cần và đủ là dãy $\left( \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \right)/n \right)$ hội tụ đến một giới hạn trong $\mathbf{C}$ với mọi hàm $f \in T$. Đặc biệt, hãy chứng minh rằng nếu X là một không gian compact mêtric hóa được, thì với mọi dãy $(x_n)$ các điểm của X tồn tại một dãy con $(x_{n_k})$ có một phân bố giới hạn.

Nếu X là khoảng $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$ và nếu $\mu$ là độ đo Lebesgue trên X, hãy chứng minh rằng để một dãy $(x_n)$ các điểm của X được phân bố đều đối với $\mu$, điều kiện cần và đủ là nó được phân bố đều mod 1 theo nghĩa của GT, VII, §1, Bài tập 14. Muốn vậy, điều kiện cần và đủ là với mọi số nguyên $m \in \mathbf{Z}$, dãy $\left( \left( \sum_{k=0}^{n-1} e^{2i\pi mx_k} \right)/n \right)$ hội tụ đến 0 với $m \neq 0$. Từ đó suy ra lại, đặc biệt, rằng dãy $x_n = n\theta - [n\theta]$ ($n \in \mathbf{N}$) được phân bố đều mod 1 với mọi số vô tỉ $\theta$ (GT, VII, §1, Bài tập 14). Phân bố giới hạn của nó là gì khi $\theta$ là hữu tỉ? Xem thêm Chương IV, §5, No. 12.