Exercice 2, § 3

Les espaces $X$ et $E$ et l’application $f$ étant définis comme dans l’exerc. 1, montrer que l’application $\lambda \mapsto \lambda(f)$ de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ dans $E$ n’est pas continue pour la topologie vague. (Si $g_k$ ($1 \leqslant k \leqslant n$) sont $n$ fonctions scalaires continues dans $X$, montrer qu’il existe une mesure discrète $\hat{\lambda}$ sur $X$ telle que $\int g_k d\hat{\lambda} = 0$ pour $1 \leqslant k \leqslant n$, mais que $\|\int f d\hat{\lambda}\|$ soit arbitrairement grand).