Exercice 3, § 4

a) Soient $X, Y$ deux espaces localement compacts, $K \subset X$, $L \subset Y$ deux ensembles compacts, $A$ une partie compacte de l’espace $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$. Pour tout entier $n$, soit $V_n$ un entourage de la structure uniforme de $K$ tel que, pour tout couple $(x', x'') \in V_n$, tout $y \in L$ et toute fonction $f \in A$, on ait

Soit $C_n$ l’ensemble des fonctions $y \mapsto n(f(x', y) - f(x'', y))$ pour tous les couples $(x', x'') \in V_n$ et toute $f \in A$; montrer que la réunion $C$ des $C_n$ pour tout $n \geq 1$ est une partie relativement compacte de $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$.

b) Soit $B$ la réunion de $C$ et de l’ensemble des applications $y \mapsto f(x, y)$ pour $x \in K$ et $f \in A$, qui est une partie relativement compacte de $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$. Montrer que lorsque $v$ parcourt le polaire $B^\circ$ de $B$ dans $\mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$ et que $f$ parcourt $A$, l’ensemble des applications

est relativement compact dans $\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$.

c) Déduire de b) que l’application $(\mu, v) \mapsto \mu \otimes v$ de

dans $\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$ est continue lorsque l’on munit $\mathscr{M}(X; \mathbf{C}), \mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$ et $\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence strictement compacte.