Bài tập 3, § 4

a) Cho $X, Y$ là hai không gian compact địa phương, $K \subset X$, $L \subset Y$ là hai tập hợp compact, $A$ là một tập con compact của không gian $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$. Với mọi số nguyên $n$, cho $V_n$ là một lân cận của cấu trúc đều của $K$ sao cho, với mọi cặp $(x', x'') \in V_n$, mọi $y \in L$ và mọi hàm $f \in A$,

Cho $C_n$ là tập hợp các hàm $y \mapsto n(f(x', y) - f(x'', y))$ với mọi cặp $(x', x'') \in V_n$ và mọi $f \in A$; hãy chỉ ra rằng hợp $C$ của các $C_n$ với mọi $n \geq 1$ là một tập con tương đối compact của $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$.

b) Cho $B$ là hợp của $C$ và tập hợp các ánh xạ $y \mapsto f(x, y)$ với $x \in K$ và $f \in A$, là một tập con tương đối compact của $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$. Hãy chỉ ra rằng khi $\nu$ chạy trên đối cực $B^\circ$ của $B$ trong $\mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$ và $f$ chạy trên $A$, tập hợp các ánh xạ

là tương đối compact trong $\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$.

c) Suy ra từ b) rằng ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$ từ $\mathscr{M}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$ vào $\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$ là liên tục khi $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$, $\mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$ và $\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô hội tụ compact nghiêm ngặt.