Exercice 7, § 4

Avec les notations de l’exerc. 6, on suppose que les conditions de cet exercice sont satisfaites. Montrer que pour tout fonction $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{C})$, on a

la limite étant prise suivant l’ensemble filtrant des parties finies de $L$, et $x_J$ désignant $pr_J(x)$ pour tout $x \in X$ et tout $J \subset L$; de même, pour tout $x \in X$, on a

lorsque toutes les mesures $\mu_\lambda$ ($\lambda \in L$) sont de masse totale 1 ($\mu_K$ désignant, pour toute partie $K$ de $L$, le produit de la sous-famille de mesures $(\mu_\lambda)_{\lambda \in K}$).