Bài tập 7, § 4

Với các ký hiệu của Bài tập 6, giả sử rằng các điều kiện của bài tập được thỏa mãn. Chứng minh rằng đối với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{C})$,

trong đó giới hạn được lấy theo tập có hướng gồm các tập con hữu hạn của $L$, và trong đó $x_J$ ký hiệu $\operatorname{pr}_J(x)$ với mọi $x \in X$ và mọi $J \subset L$; tương tự,

với mọi $x \in X$, với điều kiện rằng tất cả các độ đo $\mu_\lambda \ (\lambda \in L)$ đều có khối lượng toàn phần bằng 1 (trong đó, với mọi tập con $K$ của $L$, $\mu_K$ ký hiệu tích của họ con các độ đo $(\mu_\lambda)_{\lambda \in K}$).