Exercice 2, § 3

Montrer que toute fonction numérique $f$ appartenant à $\mathscr{L}^p(X; \mathbf{R})$ est presque partout égale à la différence $g_1 - g_2$ de deux fonctions positives semi-continues inférieurement, et appartenant à $\mathscr{L}^p(X; \mathbf{R})$ (remarquer que $f(x)$ est presque partout égale à la somme d’une série absolument convergente $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$, où les $f_n$ sont continues et à support compact).