Exercice 1, § 4

Soit $H$ un ensemble, filtrant pour la relation $\leq$, de fonctions intégrables $\geq 0$, tel que $\sup_{f \in H} N_1(f) < +\infty$. Soit $g$ l’enveloppe supérieure de $H$; pour que $g$ soit intégrable et que, dans $L^1$, la classe $\tilde{g}$ de $g$ soit limite du filtre des sections de l’ensemble filtrant des classes des fonctions $f \in H$, il faut et il suffit que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une fonction $f_1 \in H$, un ensemble $B$, filtrant pour $\leq$, de fonctions intégrables semi-continues inférieurement, et une application $f \mapsto f^*$ de l’ensemble $H_1$ des fonctions $f \in H$ qui sont $\leq f_1$ dans l’ensemble $B$, tels que l’on ait $f \leq f^*$ et $N_1(f^* - f) \leq \varepsilon$ pour toute fonction $f \in H_1$ (utiliser le th. 3 du n° 4).