Bài tập 1, § 4

Cho $H$ là một tập hợp, có hướng đối với quan hệ $\leqslant$, gồm các hàm khả tích $\geqslant 0$ sao cho $\sup_{f \in H} N_1(f) < +\infty$. Gọi $g$ là hàm bao trên của $H$; để $g$ khả tích và để, trong $L^1$, lớp $\widetilde{g}$ của $g$ là giới hạn của lọc các thiết diện của tập có hướng các lớp của các hàm $f \in H$, điều kiện cần và đủ là, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một hàm $f_1 \in H$, một tập hợp $B$, có hướng đối với $\leqslant$, gồm các hàm khả tích nửa liên tục dưới, và một ánh xạ $f \mapsto f^*$ của tập hợp $H_1$ gồm các hàm $f \in H$ thỏa mãn $\leqslant f_1$ vào tập hợp $B$, sao cho $f \leqslant f^*$ và $N_1(f^* - f) \leqslant \varepsilon$ đối với mọi hàm $f \in H_1$ (dùng Đl. 3 của No. 4).