Exercice 10, § 4

a) Soient $\mathscr{E}$ un espace de Riesz, $\mu$ une forme linéaire positive sur $\mathscr{E}$, telle que la relation $\mu(|x|) = 0$ entraîne $x = 0$; $\mu(|x|)$ est alors une norme sur $\mathscr{E}$, et on suppose que $\mathscr{E}$, muni de cette norme, est complet. Il en résulte que $\mathscr{E}$ est complètement réticulé (chap. II, § 2, exerc. 8 e)). Par suite (chap. II, § 1, exerc. 12 et 13), il existe un espace localement compact X, somme d’une famille $(K_\alpha)$ d’espaces compacts stoniens, tel que $\mathscr{E}$ soit isomorphe à un espace formé de fonctions numériques (finies ou non) continues dans X, contenant l’espace $\mathscr{H}(X)$. On identifie $\mathscr{E}$ à cet espace, et la restriction de $\mu$ à $\mathscr{H}(X)$ est alors une mesure positive sur X. Montrer que $\mathscr{E}$ est canoniquement isomorphe à l’espace $L^1(\mu)$; de façon précise, pour toute fonction g définie dans X et $\mu$-intégrable, il existe une fonction $f \in \mathscr{E}$ et une seule qui soit équivalente à g pour la mesure $\mu$ (remarquer que tout élément $\geq 0$ de $\mathscr{E}$ est borne supérieure d’une suite croissante d’éléments de $\mathscr{H}(X)$, et que $\mathscr{H}(X)$ est dense dans $L^1(\mu)$).

b) Déduire de a) que, pour tout espace compact K, il existe un espace localement compact S, somme topologique d’une famille d’espaces compacts stoniens, et une mesure positive $\nu$ sur S, de support égal à S, tels que l’espace complètement réticulé $\mathscr{M}(K)$ des mesures sur K, muni de la norme $\| \mu \|$, soit isomorphe à $L^1(\nu)$ (considérer sur $\mathscr{M}(K)$ la forme linéaire $\mu \mapsto \mu(K)$).